微分積分例

$\int x {(6 + \sqrt{x})}^{2} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

${(6 + \sqrt{x})}^{2}$ を $(6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})$ に書き換えます。

$\int x ((6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})) d x$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\int x (6 (6 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (6 + \sqrt{x})) d x$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\int x (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} (6 + \sqrt{x})) d x$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\int x (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 6 + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$6$ に $6$ をかけます。

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 6 + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.2

$6$ を $\sqrt{x}$ の左に移動させます。

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.3

$\sqrt{x} \sqrt{x}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.3.1

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.3.2

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) d x$

ステップ 1.3.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}) d x$

ステップ 1.3.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}) d x$

ステップ 1.3.1.4

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) d x$

ステップ 1.3.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) d x$

ステップ 1.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}) d x$

ステップ 1.3.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}) d x$

ステップ 1.3.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{1}) d x$

ステップ 1.3.1.4.5

簡約します。

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x) d x$

ステップ 1.3.2

$6 \sqrt{x}$ と $6 \sqrt{x}$ をたし算します。

$\int x (36 + 12 \sqrt{x} + x) d x$

ステップ 1.4

分配則を当てはめます。

$\int x \cdot 36 + x (12 \sqrt{x}) + x \cdot x d x$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$36$ を $x$ の左に移動させます。

$\int 36 \cdot x + x (12 \sqrt{x}) + x \cdot x d x$

ステップ 1.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int 36 \cdot x + 12 x \sqrt{x} + x \cdot x d x$

ステップ 1.5.3

$x$ に $x$ をかけます。

$\int 36 \cdot x + 12 x \sqrt{x} + x^{2} d x$

$\int 36 x + 12 x \sqrt{x} + x^{2} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int 36 x + 12 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{2} d x$

ステップ 2.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\int 36 x + 12 (x^{\frac{1}{2}} x) + x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int 36 x + 12 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + x^{2} d x$

ステップ 2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1}{2} + 1} + x^{2} d x$

ステップ 2.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + x^{2} d x$

ステップ 2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1 + 2}{2}} + x^{2} d x$

ステップ 2.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int 36 x + 12 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 36 x d x + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

ステップ 4

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $36$ を積分の外に移動させます。

$36 \int x d x + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

ステップ 6

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{2} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$36 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

ステップ 9.1.2

$\frac{2}{5}$ と $x^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$36 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 12 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

$18 x^{2} + \frac{24 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

ステップ 9.3

項を並べ替えます。

$18 x^{2} + \frac{24}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

微分積分 例

微分積分例