微分積分例

$\int \frac{z}{(z - 1) {(z - 2)}^{2}} d z$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{z - 1}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{z - 1} + \frac{B}{{(z - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{z - 1} + \frac{B}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{C}{z - 2}$

ステップ 1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(z - 1) {(z - 2)}^{2}$ です。

$\frac{z (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{(z - 1) {(z - 2)}^{2}} = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.5

$z - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{z (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{(z - 1) {(z - 2)}^{2}} = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{z {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.6

${(z - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{z {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.6.2

$z$ を $1$ で割ります。

$z = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$z - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$z = \frac{A (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.1.2

$(A) {(z - 2)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$z = (A) {(z - 2)}^{2} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.2

${(z - 2)}^{2}$ を $(z - 2) (z - 2)$ に書き換えます。

$z = A ((z - 2) (z - 2)) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.3

分配法則（FOIL法）を使って $(z - 2) (z - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.3.1

分配則を当てはめます。

$z = A (z (z - 2) - 2 (z - 2)) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.3.2

分配則を当てはめます。

$z = A (z \cdot z + z \cdot - 2 - 2 (z - 2)) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.3.3

分配則を当てはめます。

$z = A (z \cdot z + z \cdot - 2 - 2 z - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.4.1.1

$z$ に $z$ をかけます。

$z = A (z^{2} + z \cdot - 2 - 2 z - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.4.1.2

$- 2$ を $z$ の左に移動させます。

$z = A (z^{2} - 2 \cdot z - 2 z - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.4.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$z = A (z^{2} - 2 z - 2 z + 4) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.4.2

$- 2 z$ から $2 z$ を引きます。

$z = A (z^{2} - 4 z + 4) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.5

分配則を当てはめます。

$z = A z^{2} + A (- 4 z) + A \cdot 4 + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$z = A z^{2} - 4 A z + A \cdot 4 + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.6.2

$4$ を $A$ の左に移動させます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 \cdot A + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.7

${(z - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.7.1

共通因数を約分します。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.7.2

$(B) (z - 1)$ を $1$ で割ります。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + (B) (z - 1) + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.8

分配則を当てはめます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z + B \cdot - 1 + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.9

$- 1$ を $B$ の左に移動させます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - 1 \cdot B + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.10

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.11

${(z - 2)}^{2}$ と $z - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.11.1

$z - 2$ を $(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}$ で因数分解します。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(z - 2) ((C) (z - 1) (z - 2))}{z - 2}$

ステップ 1.1.7.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.11.2.1

$1$ を掛けます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(z - 2) ((C) (z - 1) (z - 2))}{(z - 2) \cdot 1}$

ステップ 1.1.7.11.2.2

共通因数を約分します。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(z - 2) ((C) (z - 1) (z - 2))}{(z - 2) \cdot 1}$

ステップ 1.1.7.11.2.3

式を書き換えます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(C) (z - 1) (z - 2)}{1}$

ステップ 1.1.7.11.2.4

$(C) (z - 1) (z - 2)$ を $1$ で割ります。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + (C) (z - 1) (z - 2)$

ステップ 1.1.7.12

分配則を当てはめます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + (C z + C \cdot - 1) (z - 2)$

ステップ 1.1.7.13

$- 1$ を $C$ の左に移動させます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + (C z - 1 \cdot C) (z - 2)$

ステップ 1.1.7.14

$- 1 C$ を $- C$ に書き換えます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + (C z - C) (z - 2)$

ステップ 1.1.7.15

分配法則（FOIL法）を使って $(C z - C) (z - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.15.1

分配則を当てはめます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z (z - 2) - C (z - 2)$

ステップ 1.1.7.15.2

分配則を当てはめます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z \cdot z + C z \cdot - 2 - C (z - 2)$

ステップ 1.1.7.15.3

分配則を当てはめます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z \cdot z + C z \cdot - 2 - C z - C \cdot - 2$

ステップ 1.1.7.16

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.16.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.16.1.1

指数を足して $z$ に $z$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.16.1.1.1

$z$ を移動させます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C (z \cdot z) + C z \cdot - 2 - C z - C \cdot - 2$

ステップ 1.1.7.16.1.1.2

$z$ に $z$ をかけます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z^{2} + C z \cdot - 2 - C z - C \cdot - 2$

ステップ 1.1.7.16.1.2

$- 2$ を $C z$ の左に移動させます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z^{2} - 2 \cdot (C z) - C z - C \cdot - 2$

ステップ 1.1.7.16.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z^{2} - 2 C z - C z + 2 C$

ステップ 1.1.7.16.2

$- 2 C z$ から $C z$ を引きます。

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z^{2} - 3 C z + 2 C$

ステップ 1.1.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

$A$ を移動させます。

$z = A z^{2} - 4 z A + 4 A + B z - B + C z^{2} - 3 C z + 2 C$

ステップ 1.1.8.2

$B$ と $z$ を並べ替えます。

$z = A z^{2} - 4 z A + 4 A + B z - B + C z^{2} - 3 C z + 2 C$

ステップ 1.1.8.3

$- B$ を移動させます。

$z = A z^{2} - 4 z A + 4 A + B z + C z^{2} - 3 C z - B + 2 C$

ステップ 1.1.8.4

$4 A$ を移動させます。

$z = A z^{2} - 4 z A + B z + C z^{2} - 3 C z + 4 A - B + 2 C$

ステップ 1.1.8.5

$B z$ を移動させます。

$z = A z^{2} - 4 z A + C z^{2} + B z - 3 C z + 4 A - B + 2 C$

ステップ 1.1.8.6

$- 4 z A$ を移動させます。

$z = A z^{2} + C z^{2} - 4 z A + B z - 3 C z + 4 A - B + 2 C$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式の両辺から $z^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + C$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $z$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 4 A + B - 3 C$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $z$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

ステップ 1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + C$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

$0 = A + C$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$0 = A + C$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

方程式を $A + C = 0$ として書き換えます。

$A + C = 0$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

ステップ 1.3.1.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$A = - C$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

$A = - C$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- C$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$1 = - 4 A + B - 3 C$ の $A$ のすべての発生を $- C$ で置き換えます。

$1 = - 4 (- C) + B - 3 C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$- 4 (- C) + B - 3 C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$1 = 4 C + B - 3 C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

ステップ 1.3.2.2.1.2

$4 C$ から $3 C$ を引きます。

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

ステップ 1.3.2.3

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$ の $A$ のすべての発生を $- C$ で置き換えます。

$0 = 4 (- C) - 1 B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

ステップ 1.3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1

$4 (- C) - 1 B + 2 C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.4.1.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$0 = - 4 C - 1 B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

ステップ 1.3.2.4.1.1.2

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$0 = - 4 C - B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = - 4 C - B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

ステップ 1.3.2.4.1.2

$- 4 C$ と $2 C$ をたし算します。

$0 = - B - 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = - B - 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = - B - 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = - B - 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

ステップ 1.3.3

$1 = B + C$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

方程式を $B + C = 1$ として書き換えます。

$B + C = 1$

$0 = - B - 2 C$

$A = - C$

ステップ 1.3.3.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$B = 1 - C$

$0 = - B - 2 C$

$A = - C$

$B = 1 - C$

$0 = - B - 2 C$

$A = - C$

ステップ 1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $1 - C$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$0 = - B - 2 C$ の $B$ のすべての発生を $1 - C$ で置き換えます。

$0 = - (1 - C) - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

ステップ 1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

$- (1 - C) - 2 C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$0 = - 1 \cdot 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

ステップ 1.3.4.2.1.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 = - 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

ステップ 1.3.4.2.1.1.3

$- - C$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 = - 1 + 1 C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

ステップ 1.3.4.2.1.1.3.2

$C$ に $1$ をかけます。

$0 = - 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

ステップ 1.3.4.2.1.2

$C$ から $2 C$ を引きます。

$0 = - 1 - C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 - C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 - C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 - C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

ステップ 1.3.5

$0 = - 1 - C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

方程式を $- 1 - C = 0$ として書き換えます。

$- 1 - C = 0$

$B = 1 - C$

$A = - C$

ステップ 1.3.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- C = 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

ステップ 1.3.5.3

$- C = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.1

$- C = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- C}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$B = 1 - C$

$A = - C$

ステップ 1.3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{C}{1} = \frac{1}{- 1}$

$B = 1 - C$

$A = - C$

ステップ 1.3.5.3.2.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{1}{- 1}$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$C = \frac{1}{- 1}$

$B = 1 - C$

$A = - C$

ステップ 1.3.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.3.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

ステップ 1.3.6

各方程式の $C$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$B = 1 - C$ の $C$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$B = 1 - (- 1)$

$C = - 1$

$A = - C$

ステップ 1.3.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1

$1 - (- 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$B = 1 + 1$

$C = - 1$

$A = - C$

ステップ 1.3.6.2.1.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - C$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - C$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - C$

ステップ 1.3.6.3

$A = - C$ の $C$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$A = - (- 1)$

$B = 2$

$C = - 1$

ステップ 1.3.6.4

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.6.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A = 1$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = 1$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = 1$

$B = 2$

$C = - 1$

ステップ 1.3.7

すべての解をまとめます。

$A = 1, B = 2, C = - 1$

ステップ 1.4

$\frac{A}{z - 1} + \frac{B}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{C}{z - 2}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{z - 1} + \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{- 1}{z - 2}$

ステップ 1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{z - 1} + \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} - \frac{1}{z - 2} d z$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{z - 1} d z + \int \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} d z + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

ステップ 3

$u_{1} = z - 1$ とします。次に $d u_{1} = d z$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = z - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d z}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$z - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d z} [z - 1]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $z - 1$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d z} [- 1]$

ステップ 3.1.4

$- 1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} d z + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

ステップ 4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} d z + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

ステップ 5

$2$ は $z$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int \frac{1}{{(z - 2)}^{2}} d z + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

ステップ 6

$u_{2} = z - 2$ とします。次に $d u_{2} = d z$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = z - 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d z}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$z - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d z} [z - 2]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $z - 2$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 2]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d z} [- 2]$

ステップ 6.1.4

$- 2$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2} + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1

${u_{2}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2} + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

ステップ 7.2

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2} + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

ステップ 7.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

ステップ 8

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- 2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $- {u_{2}}^{- 1}$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

ステップ 9

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{z - 2} d z$

ステップ 10

$u_{3} = z - 2$ とします。次に $d u_{3} = d z$ 。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u_{3} = z - 2$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d z}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$z - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d z} [z - 2]$

ステップ 10.1.2

総和則では、 $z - 2$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 2]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d z} [- 2]$

ステップ 10.1.4

$- 2$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 10.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 10.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 11

$\frac{1}{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\ln (| u_{3} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (\ln (| u_{3} |) + C)$

ステップ 12

簡約します。

$\ln (| u_{1} |) - \frac{2}{u_{2}} - \ln (| u_{3} |) + C$

ステップ 13

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \frac{2}{u_{2}} + \ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{3} |}) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 14.1

$u_{2}$ のすべての発生を $z - 2$ で置き換えます。

$- \frac{2}{z - 2} + \ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{3} |}) + C$

ステップ 14.2

$u_{1}$ のすべての発生を $z - 1$ で置き換えます。

$- \frac{2}{z - 2} + \ln (\frac{| z - 1 |}{| u_{3} |}) + C$

ステップ 14.3

$u_{3}$ のすべての発生を $z - 2$ で置き換えます。

$- \frac{2}{z - 2} + \ln (\frac{| z - 1 |}{| z - 2 |}) + C$

微分積分 例

微分積分例