微分積分例

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{\frac{5}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.6.2

$5$ から $2$ を引きます。

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.7

$\frac{5}{2}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.8

$2$ と $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.9

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.10

$2$ を $10 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.11

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.11.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.11.3

式を書き換えます。

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.11.4

$5 x^{\frac{3}{2}}$ を $1$ で割ります。

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

ステップ 2.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 2 + 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

ステップ 2.3.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

ステップ 2.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 2.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

ステップ 2.3.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.3.7

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.3.8

$5$ と $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 2 + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 2.3.9

$3$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{\frac{5}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.6.2

$5$ から $2$ を引きます。

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.7

$\frac{5}{2}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.8

$2$ と $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.9

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.10

$2$ を $10 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.11

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.11.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.11.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.11.3

式を書き換えます。

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.11.4

$5 x^{\frac{3}{2}}$ を $1$ で割ります。

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

ステップ 4.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ です。

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

ステップ 5.2

$- x$ を $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$- x \cdot 2 + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

ステップ 5.2.2

$- x$ を $5 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$- x \cdot 2 - x (- 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

ステップ 5.2.3

$- x$ を $- x (2) - x (- 5 x^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- 5 x^{\frac{1}{2}} = - 2$

ステップ 5.5.2.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.2.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1.1

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1.1.1

積の法則を $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.2.3.1.1.2

$- 5$ を $2$ 乗します。

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.2.3.1.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.2.3.1.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.2.3.1.1.3.2.2

式を書き換えます。

$25 x^{1} = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.2.3.1.1.4

簡約します。

$25 x = {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.5.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$25 x = 4$

ステップ 5.5.2.4

$25 x = 4$ の各項を $25$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.4.1

$25 x = 4$ の各項を $25$ で割ります。

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

ステップ 5.5.2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.4.2.1

$25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

ステップ 5.5.2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{25}$

ステップ 5.6

最終解は $- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{4}{25}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- 2 x + 5 \sqrt{x^{3}}$

ステップ 6.2

$\sqrt{x^{3}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} < 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

ステップ 6.3.2

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$x < \sqrt[3]{0}$

ステップ 6.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x < 0$

ステップ 6.4

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, \frac{4}{25}$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 + \frac{15 {(0)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- 2 + \frac{15 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 9.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

ステップ 9.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

ステップ 9.1.1.3.2

式を書き換えます。

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{1}}{2}$

ステップ 9.1.1.4

指数を求めます。

$- 2 + \frac{15 \cdot 0}{2}$

ステップ 9.1.2

$15$ に $0$ をかけます。

$- 2 + \frac{0}{2}$

ステップ 9.1.3

$0$ を $2$ で割ります。

$- 2 + 0$

ステップ 9.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$- 2$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 2 {(0)}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = 2 {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.3.2

式を書き換えます。

$f (0) = 2 \cdot 0^{5} - {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.5

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

ステップ 11.2.1.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 0$

ステップ 11.2.1.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 11.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 12

$x = \frac{4}{25}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 + \frac{15 {(\frac{4}{25})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

積の法則を $\frac{4}{25}$ に当てはめます。

$- 2 + \frac{15 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 13.1.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- 2 + \frac{15 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 13.1.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 13.1.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 13.1.1.2.3.2

式を書き換えます。

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{1}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 13.1.1.2.4

指数を求めます。

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 13.1.1.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.3.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 13.1.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

ステップ 13.1.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

ステップ 13.1.1.3.3.2

式を書き換えます。

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{1}}}{2}$

ステップ 13.1.1.3.4

指数を求めます。

$- 2 + \frac{15 (\frac{2}{5})}{2}$

ステップ 13.1.2

$15$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$- 2 + \frac{\frac{15 \cdot 2}{5}}{2}$

ステップ 13.1.3

$15$ に $2$ をかけます。

$- 2 + \frac{\frac{30}{5}}{2}$

ステップ 13.1.4

$30$ を $5$ で割ります。

$- 2 + \frac{6}{2}$

ステップ 13.1.5

$6$ を $2$ で割ります。

$- 2 + 3$

ステップ 13.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$1$

ステップ 14

$x = \frac{4}{25}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{4}{25}$ は極小値です

ステップ 15

$x = \frac{4}{25}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{4}{25}$ で置換えます。

$f (\frac{4}{25}) = 2 {(\frac{4}{25})}^{\frac{5}{2}} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

積の法則を $\frac{4}{25}$ に当てはめます。

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{4^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

ステップ 15.2.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

ステップ 15.2.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

ステップ 15.2.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

ステップ 15.2.1.2.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{5}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

ステップ 15.2.1.2.4

$2$ を $5$ 乗します。

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

ステップ 15.2.1.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.3.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{{(5^{2})}^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

ステップ 15.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

ステップ 15.2.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

ステップ 15.2.1.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{5}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

ステップ 15.2.1.3.4

$5$ を $5$ 乗します。

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{3125}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

ステップ 15.2.1.4

$2 (\frac{32}{3125})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.1

$2$ と $\frac{32}{3125}$ をまとめます。

$f (\frac{4}{25}) = \frac{2 \cdot 32}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

ステップ 15.2.1.4.2

$2$ に $32$ をかけます。

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

ステップ 15.2.1.5

積の法則を $\frac{4}{25}$ に当てはめます。

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{4^{2}}{25^{2}}$

ステップ 15.2.1.6

$4$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{25^{2}}$

ステップ 15.2.1.7

$25$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625}$

ステップ 15.2.2

$- \frac{16}{625}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625} \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 15.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $3125$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1

$\frac{16}{625}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{625 \cdot 5}$

ステップ 15.2.3.2

$625$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{3125}$

ステップ 15.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 16 \cdot 5}{3125}$

ステップ 15.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$- 16$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 80}{3125}$

ステップ 15.2.5.2

$64$ から $80$ を引きます。

$f (\frac{4}{25}) = \frac{- 16}{3125}$

ステップ 15.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{4}{25}) = - \frac{16}{3125}$

ステップ 15.2.7

最終的な答えは $- \frac{16}{3125}$ です。

$y = - \frac{16}{3125}$

ステップ 16

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極大値です

$(\frac{4}{25}, - \frac{16}{3125})$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例