微分積分例

$f (x) = 2 x (x - 4) + 7$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 x (x - 4) + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x (x - 4)] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x (x - 4)] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x (x - 4)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x (x - 4)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x (x - 4)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x (x - 4)] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$2 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (1 + 0) + (x - 4) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 (x \cdot 1 + (x - 4) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.8

$x$ に $1$ をかけます。

$2 (x + (x - 4) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.9

$x - 4$ に $1$ をかけます。

$2 (x + x - 4) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.2.10

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 (2 x - 4) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$2 (2 x - 4) + 0$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$2 (2 x) + 2 \cdot - 4 + 0$

ステップ 1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + 2 \cdot - 4 + 0$

ステップ 1.4.2.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$4 x - 8 + 0$

ステップ 1.4.2.3

$4 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$4 x - 8$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 4 + 0$

ステップ 2.3.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 4$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x - 8 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $2 x (x - 4) + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x (x - 4)] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x (x - 4)] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x (x - 4)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x (x - 4)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x (x - 4)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x (x - 4)] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.2

$2 (x \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.3

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$2 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (1 + 0) + (x - 4) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 (x \cdot 1 + (x - 4) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.8

$x$ に $1$ をかけます。

$2 (x + (x - 4) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.9

$x - 4$ に $1$ をかけます。

$2 (x + x - 4) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.2.10

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 (2 x - 4) + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 4.1.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$2 (2 x - 4) + 0$

ステップ 4.1.4

簡約します。

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ステップ 4.1.4.1

分配則を当てはめます。

$2 (2 x) + 2 \cdot - 4 + 0$

ステップ 4.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + 2 \cdot - 4 + 0$

ステップ 4.1.4.2.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$4 x - 8 + 0$

ステップ 4.1.4.2.3

$4 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x - 8$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x - 8$ です。

$4 x - 8$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x - 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x - 8 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$4 x = 8$

ステップ 5.3

$4 x = 8$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4 x = 8$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{8}{4}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$8$ を $4$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 2$

ステップ 8

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$4$

ステップ 9

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 10

$x = 2$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 2 (2) ((2) - 4) + 7$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 4 ((2) - 4) + 7$

ステップ 10.2.1.2

$2$ から $4$ を引きます。

$f (2) = 4 \cdot - 2 + 7$

ステップ 10.2.1.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$f (2) = - 8 + 7$

ステップ 10.2.2

$- 8$ と $7$ をたし算します。

$f (2) = - 1$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 11

$f (x) = 2 x (x - 4) + 7$ の極値です。

$(2, - 1)$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

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