微分積分例

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

ステップ 1.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x)$

ステップ 1.4.2.2

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$

ステップ 1.4.2.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.2.5

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 4

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 5

$2 \sin (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.1

$2 \sin (x)$ を $- 2 \sin (x)$ で因数分解します。

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 5.2

$2 \sin (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 7

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 7.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 7.2.5

方程式 $x = 0$ に対する解です。

$x = 0, π$

ステップ 8

$\cos (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.1

$\cos (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 8.2

$x$ について $\cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 8.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\cos (x) = 1$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 8.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 8.2.5

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 8.2.6

方程式 $x = 0$ に対する解です。

$x = 0, 2 π$

ステップ 9

最終解は $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, π, 2 π$

ステップ 10

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 \cos (2 (0)) - 2 \cos (0)$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 11.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$2 \cos (0) - 2 \cos (0)$

ステップ 11.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \cdot 1 - 2 \cos (0)$

ステップ 11.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - 2 \cos (0)$

ステップ 11.1.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 - 2 \cdot 1$

ステップ 11.1.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 - 2$

ステップ 11.2

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 12

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 12.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

ステップ 12.2

一次導関数 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

ステップ 12.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = \sin (- 4) - 2 \sin (- 2)$

ステップ 12.2.2.1.2

$\sin (- 4)$ の値を求めます。

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

ステップ 12.2.2.1.3

$\sin (- 2)$ の値を求めます。

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

ステップ 12.2.2.1.4

$- 2$ に $- 0.90929742$ をかけます。

$f' (- 2) = 0.75680249 + 1.81859485$

ステップ 12.2.2.2

$0.75680249$ と $1.81859485$ をたし算します。

$f' (- 2) = 2.57539734$

ステップ 12.2.2.3

最終的な答えは $2.57539734$ です。

$2.57539734$

ステップ 12.3

一次導関数 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ の区間 $(0, π)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 12.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = \sin (2 (2)) - 2 \sin (2)$

ステップ 12.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = \sin (4) - 2 \sin (2)$

ステップ 12.3.2.1.2

$\sin (4)$ の値を求めます。

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \sin (2)$

ステップ 12.3.2.1.3

$\sin (2)$ の値を求めます。

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

ステップ 12.3.2.1.4

$- 2$ に $0.90929742$ をかけます。

$f' (2) = - 0.75680249 - 1.81859485$

ステップ 12.3.2.2

$- 0.75680249$ から $1.81859485$ を引きます。

$f' (2) = - 2.57539734$

ステップ 12.3.2.3

最終的な答えは $- 2.57539734$ です。

$- 2.57539734$

ステップ 12.4

一次導関数 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ の区間 $(π, 2 π)$ から $5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 12.4.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f' (5) = \sin (2 (5)) - 2 \sin (5)$

ステップ 12.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.2.1.1

$2$ に $5$ をかけます。

$f' (5) = \sin (10) - 2 \sin (5)$

ステップ 12.4.2.1.2

$\sin (10)$ の値を求めます。

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \sin (5)$

ステップ 12.4.2.1.3

$\sin (5)$ の値を求めます。

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \cdot - 0.95892427$

ステップ 12.4.2.1.4

$- 2$ に $- 0.95892427$ をかけます。

$f' (5) = - 0.54402111 + 1.91784854$

ステップ 12.4.2.2

$- 0.54402111$ と $1.91784854$ をたし算します。

$f' (5) = 1.37382743$

ステップ 12.4.2.3

最終的な答えは $1.37382743$ です。

$1.37382743$

ステップ 12.5

一次導関数 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ の区間 $(2 π, \infty)$ から $9$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 12.5.1

式の変数 $x$ を $9$ で置換えます。

$f' (9) = \sin (2 (9)) - 2 \sin (9)$

ステップ 12.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.1.1

$2$ に $9$ をかけます。

$f' (9) = \sin (18) - 2 \sin (9)$

ステップ 12.5.2.1.2

$\sin (18)$ の値を求めます。

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \sin (9)$

ステップ 12.5.2.1.3

$\sin (9)$ の値を求めます。

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \cdot 0.41211848$

ステップ 12.5.2.1.4

$- 2$ に $0.41211848$ をかけます。

$f' (9) = - 0.75098724 - 0.82423697$

ステップ 12.5.2.2

$- 0.75098724$ から $0.82423697$ を引きます。

$f' (9) = - 1.57522421$

ステップ 12.5.2.3

最終的な答えは $- 1.57522421$ です。

$- 1.57522421$

ステップ 12.6

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 0$ は極大値です。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 12.7

$x = π$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = π$ は極小値です。

$x = π$ は極小値です

ステップ 12.8

$x = 2 π$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 2 π$ は極大値です。

$x = 2 π$ は極大値です

ステップ 12.9

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ の極値です。

$x = 0$ は極大値です

$x = π$ は極小値です

$x = 2 π$ は極大値です

$x = 0$ は極大値です

$x = π$ は極小値です

$x = 2 π$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例