微分積分例

$f (x) = 3 x^{2} + 2 y^{3} - 24 x y + 33$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $3 x^{2} + 2 y^{3} - 24 x y + 33$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x y] + \frac{d}{d x} [33]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x y] + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x y] + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x y] + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x y] + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 1.3

$2 y^{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$6 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 24 x y] + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 24 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 24 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x y$ の微分係数は $- 24 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x + 0 - 24 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x + 0 - 24 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 1.4.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$6 x + 0 - 24 y + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 1.5

$33$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $33$ の微分係数は $0$ です。

$6 x + 0 - 24 y + 0$

ステップ 1.6

項をまとめます。

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ステップ 1.6.1

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$6 x - 24 y + 0$

ステップ 1.6.2

$6 x - 24 y$ と $0$ をたし算します。

$6 x - 24 y$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $6 x - 24 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 24 y]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 24 y)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24 y)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24 y)$

ステップ 2.2.3

$6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 24 y)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 24 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 24 y$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 + 0$

ステップ 2.3.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 x - 24 y = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $3 x^{2} + 2 y^{3} - 24 x y + 33$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x y] + \frac{d}{d x} [33]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x y] + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x y] + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x y] + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x y] + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 4.1.3

$2 y^{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$6 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 24 x y] + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 24 x y]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.4.1

$- 24 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x y$ の微分係数は $- 24 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x + 0 - 24 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x + 0 - 24 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 4.1.4.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$6 x + 0 - 24 y + \frac{d}{d x} [33]$

ステップ 4.1.5

$33$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $33$ の微分係数は $0$ です。

$6 x + 0 - 24 y + 0$

ステップ 4.1.6

項をまとめます。

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ステップ 4.1.6.1

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$6 x - 24 y + 0$

ステップ 4.1.6.2

$6 x - 24 y$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 6 x - 24 y$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x - 24 y$ です。

$6 x - 24 y$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x - 24 y = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x - 24 y = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $24 y$ を足します。

$6 x = 24 y$

ステップ 5.3

$6 x = 24 y$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$6 x = 24 y$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{24 y}{6}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{24 y}{6}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{24 y}{6}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$24$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$6$ を $24 y$ で因数分解します。

$x = \frac{6 (4 y)}{6}$

ステップ 5.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$x = \frac{6 (4 y)}{6 (1)}$

ステップ 5.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{6 (4 y)}{6 \cdot 1}$

ステップ 5.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{4 y}{1}$

ステップ 5.3.3.1.2.4

$4 y$ を $1$ で割ります。

$x = 4 y$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 4 y$

ステップ 8

$x = 4 y$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6$

ステップ 9

$x = 4 y$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 4 y$ は極小値です

ステップ 10

$x = 4 y$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $4 y$ で置換えます。

$f (4 y) = 3 {(4 y)}^{2} + 2 y^{3} - 24 (4 y) \cdot y + 33$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

積の法則を $4 y$ に当てはめます。

$f (4 y) = 3 (4^{2} y^{2}) + 2 y^{3} - 24 (4 y) \cdot y + 33$

ステップ 10.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4 y) = 3 (16 y^{2}) + 2 y^{3} - 24 (4 y) \cdot y + 33$

ステップ 10.2.1.3

$16$ に $3$ をかけます。

$f (4 y) = 48 y^{2} + 2 y^{3} - 24 (4 y) \cdot y + 33$

ステップ 10.2.1.4

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 10.2.1.4.1

$y$ を移動させます。

$f (4 y) = 48 y^{2} + 2 y^{3} - 24 (4 (y \cdot y)) + 33$

ステップ 10.2.1.4.2

$y$ に $y$ をかけます。

$f (4 y) = 48 y^{2} + 2 y^{3} - 24 (4 y^{2}) + 33$

ステップ 10.2.1.5

$4$ に $- 24$ をかけます。

$f (4 y) = 48 y^{2} + 2 y^{3} - 96 y^{2} + 33$

ステップ 10.2.2

$48 y^{2}$ から $96 y^{2}$ を引きます。

$f (4 y) = 2 y^{3} - 48 y^{2} + 33$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $2 y^{3} - 48 y^{2} + 33$ です。

$y = 2 y^{3} - 48 y^{2} + 33$

ステップ 11

$f (x) = 3 x^{2} + 2 y^{3} - 24 x y + 33$ の極値です。

$(4 y, 2 y^{3} - 48 y^{2} + 33)$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例