微分積分例

$f (x) = 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 \sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \sin^{2} (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$3 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

ステップ 1.2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$3 (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

ステップ 1.2.4

$2$ に $3$ をかけます。

$6 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \sin (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$6 \sin (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$6 \sin (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x) \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \cos (x) \sin (x)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 6 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) + 6 (- \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

ステップ 2.4.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) = 0$

ステップ 4

$3 \cos (x)$ を $6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 4.1

$3 \cos (x)$ を $6 \cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$3 \cos (x) (2 \sin (x)) + 3 \cos (x) = 0$

ステップ 4.2

$3 \cos (x)$ を $3 \cos (x)$ で因数分解します。

$3 \cos (x) (2 \sin (x)) + 3 \cos (x) \cdot 1 = 0$

ステップ 4.3

$3 \cos (x)$ を $3 \cos (x) (2 \sin (x)) + 3 \cos (x) \cdot 1$ で因数分解します。

$3 \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 6

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 6.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 6.2.5

方程式 $x = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 7

$2 \sin (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2 \sin (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $2 \sin (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \sin (x) = - 1$

ステップ 7.2.2

$2 \sin (x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$2 \sin (x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 7.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 7.2.5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 7.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 7.2.6.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 7.2.6.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 7.2.7

方程式 $x = - \frac{π}{6}$ に対する解です。

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

ステップ 8

最終解は $3 \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

ステップ 9

$x = \frac{π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$6 \cdot 0^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$6 \cdot 0 - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.3

$6$ に $0$ をかけます。

$0 - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 - 6 \cdot 1^{2} - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.6

$- 6$ に $1$ をかけます。

$0 - 6 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

ステップ 10.1.8

$- 3$ に $1$ をかけます。

$0 - 6 - 3$

ステップ 10.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 10.2.1

$0$ から $6$ を引きます。

$- 6 - 3$

ステップ 10.2.2

$- 6$ から $3$ を引きます。

$- 9$

ステップ 11

$x = \frac{π}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{2}$ は極大値です

ステップ 12

$x = \frac{π}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1^{2} + 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 12.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 12.2.1.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 12.2.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 3 \cdot 1$

ステップ 12.2.1.5

$3$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 3$

ステップ 12.2.2

$3$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2}) = 6$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$y = 6$

ステップ 13

$x = \frac{3 π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$6 \cdot 0^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$6 \cdot 0 - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.4

$6$ に $0$ をかけます。

$0 - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$0 - 6 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 6 {(- 1)}^{2} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.9

$- 6$ に $1$ をかけます。

$0 - 6 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.1.10

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$0 - 6 - 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 14.1.11

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$0 - 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 14.1.12

$- 3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.12.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 6 - 3 \cdot - 1$

ステップ 14.1.12.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 6 + 3$

ステップ 14.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$0$ から $6$ を引きます。

$- 6 + 3$

ステップ 14.2.2

$- 6$ と $3$ をたし算します。

$- 3$

ステップ 15

$x = \frac{3 π}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3 π}{2}$ は極大値です

ステップ 16

$x = \frac{3 π}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 16.2.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 16.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 {(- 1)}^{2} + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 16.2.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cdot 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 16.2.1.5

$3$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 16.2.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 16.2.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 16.2.1.8

$3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.8.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 \cdot - 1$

ステップ 16.2.1.8.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 - 3$

ステップ 16.2.2

$3$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 17

$x = - \frac{π}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 \cos^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$6 \cos^{2} (\frac{11 π}{6}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$6 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$6 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.4

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$6 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$6 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.5.4.2

式を書き換えます。

$6 \frac{3^{1}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.5.5

指数を求めます。

$6 \frac{3}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$6 (\frac{3}{4}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.7.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{3}{4} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.7.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.7.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.7.4

式を書き換えます。

$3 (\frac{3}{2}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.8

$3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 3}{2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.9

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{9}{2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.10

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$\frac{9}{2} - 6 \sin^{2} (\frac{11 π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.11

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{9}{2} - 6 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.12

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{9}{2} - 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.13

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.13.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.13.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.14

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{9}{2} - 6 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.15

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.16

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1}{2^{2}} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.17

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{9}{2} - 6 (\frac{1}{4}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.18

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.18.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{9}{2} + 2 (- 3) \frac{1}{4} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.18.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.18.3

共通因数を約分します。

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.18.4

式を書き換えます。

$\frac{9}{2} - 3 (\frac{1}{2}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.19

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{9}{2} + \frac{- 3}{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.20

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 18.1.21

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 \sin (\frac{11 π}{6})$

ステップ 18.1.22

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 18.1.23

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \frac{1}{2})$

ステップ 18.1.24

$- 3 (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.24.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + 3 (\frac{1}{2})$

ステップ 18.1.24.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 18.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{9 - 3 + 3}{2}$

ステップ 18.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.2.1

$9$ から $3$ を引きます。

$\frac{6 + 3}{2}$

ステップ 18.2.2.2

$6$ と $3$ をたし算します。

$\frac{9}{2}$

ステップ 19

$x = - \frac{π}{6}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{π}{6}$ は極小値です

ステップ 20

$x = - \frac{π}{6}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

式の変数 $x$ を $- \frac{π}{6}$ で置換えます。

$f (- \frac{π}{6}) = 3 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 20.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$f (- \frac{π}{6}) = 3 \sin^{2} (\frac{11 π}{6}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 20.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (- \frac{π}{6}) = 3 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 20.2.1.3

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (- \frac{π}{6}) = 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 20.2.1.4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.4.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 20.2.1.4.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 20.2.1.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 20.2.1.6

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 20.2.1.7

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1}{2^{2}}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 20.2.1.8

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1}{4}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 20.2.1.9

$3$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

ステップ 20.2.1.10

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 \sin (\frac{11 π}{6})$

ステップ 20.2.1.11

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 20.2.1.12

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

ステップ 20.2.1.13

$3 (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.13.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

ステップ 20.2.1.13.2

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + \frac{- 3}{2}$

ステップ 20.2.1.14

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2}$

ステップ 20.2.2

$- \frac{3}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 20.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.3.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 20.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

ステップ 20.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{4}$

ステップ 20.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.5.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 - 6}{4}$

ステップ 20.2.5.2

$3$ から $6$ を引きます。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{4}$

ステップ 20.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{4}$

ステップ 20.2.7

最終的な答えは $- \frac{3}{4}$ です。

$y = - \frac{3}{4}$

ステップ 21

$x = \frac{7 π}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 \cos^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$6 {(- \cos (\frac{π}{6}))}^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$6 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.3

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.3.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.3.2

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$6 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$6 (1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.5

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$6 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$6 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.6.4.2

式を書き換えます。

$6 \frac{3^{1}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.6.5

指数を求めます。

$6 \frac{3}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$6 (\frac{3}{4}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.8.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{3}{4} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.8.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.8.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.8.4

式を書き換えます。

$3 (\frac{3}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.9

$3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 3}{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.10

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{9}{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.11

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{9}{2} - 6 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.12

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{9}{2} - 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.13

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.13.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.13.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.14

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{9}{2} - 6 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.15

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.16

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1}{2^{2}} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.17

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{9}{2} - 6 (\frac{1}{4}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.18

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.18.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{9}{2} + 2 (- 3) \frac{1}{4} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.18.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.18.3

共通因数を約分します。

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.18.4

式を書き換えます。

$\frac{9}{2} - 3 (\frac{1}{2}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.19

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{9}{2} + \frac{- 3}{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.20

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 22.1.21

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 22.1.22

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \frac{1}{2})$

ステップ 22.1.23

$- 3 (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.23.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + 3 (\frac{1}{2})$

ステップ 22.1.23.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 22.2

分数をまとめます。

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ステップ 22.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{9 - 3 + 3}{2}$

ステップ 22.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 22.2.2.1

$9$ から $3$ を引きます。

$\frac{6 + 3}{2}$

ステップ 22.2.2.2

$6$ と $3$ をたし算します。

$\frac{9}{2}$

ステップ 23

$x = \frac{7 π}{6}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{7 π}{6}$ は極小値です

ステップ 24

$x = \frac{7 π}{6}$ のときy値を求めます。

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ステップ 24.1

式の変数 $x$ を $\frac{7 π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 24.2

結果を簡約します。

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ステップ 24.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 24.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 24.2.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 24.2.1.3

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 24.2.1.3.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 24.2.1.3.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 24.2.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 24.2.1.5

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 24.2.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1}{2^{2}}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 24.2.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1}{4}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 24.2.1.8

$3$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

ステップ 24.2.1.9

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 24.2.1.10

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

ステップ 24.2.1.11

$3 (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

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ステップ 24.2.1.11.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

ステップ 24.2.1.11.2

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + \frac{- 3}{2}$

ステップ 24.2.1.12

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2}$

ステップ 24.2.2

$- \frac{3}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 24.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 24.2.3.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 24.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

ステップ 24.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{4}$

ステップ 24.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 24.2.5.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 - 6}{4}$

ステップ 24.2.5.2

$3$ から $6$ を引きます。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{4}$

ステップ 24.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{4}$

ステップ 24.2.7

最終的な答えは $- \frac{3}{4}$ です。

$y = - \frac{3}{4}$

ステップ 25

$f (x) = 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)$ の極値です。

$(\frac{π}{2}, 6)$ は極大値です

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ は極大値です

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{4})$ は極小値です

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{4})$ は極小値です

ステップ 26

微分積分 例

微分積分例