微分積分例

$f (x) = 2 x \ln (x) - 12 x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 x \ln (x) - 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \ln (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.2.5

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.2.6

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.2.6.2

式を書き換えます。

$2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.2.7

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (1 + \ln (x)) - 12 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (1 + \ln (x)) - 12 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$2 (1 + \ln (x)) - 12$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 + 2 \ln (x) - 12$

ステップ 1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 2 \ln (x) - 12$

ステップ 1.4.2.2

$2$ から $12$ を引きます。

$2 \ln (x) - 10$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $2 \ln (x) - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 10)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \ln (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 10)$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 10)$

ステップ 2.2.3

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (- 10)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{2}{x} + 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{2}{x}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2}{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 \ln (x) - 10 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $2 x \ln (x) - 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \ln (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 4.1.2.2

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 4.1.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 4.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 4.1.2.5

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 4.1.2.6

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 4.1.2.6.2

式を書き換えます。

$2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 4.1.2.7

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (1 + \ln (x)) - 12 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (1 + \ln (x)) - 12 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$2 (1 + \ln (x)) - 12$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 + 2 \ln (x) - 12$

ステップ 4.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 2 \ln (x) - 12$

ステップ 4.1.4.2.2

$2$ から $12$ を引きます。

$f' (x) = 2 \ln (x) - 10$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 \ln (x) - 10$ です。

$2 \ln (x) - 10$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 \ln (x) - 10 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 \ln (x) - 10 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$2 \ln (x) = 10$

ステップ 5.3

$2 \ln (x) = 10$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2 \ln (x) = 10$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{10}{2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{10}{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{10}{2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$10$ を $2$ で割ります。

$\ln (x) = 5$

ステップ 5.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{5}$

ステップ 5.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = 5$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{5} = x$

ステップ 5.6

方程式を $x = e^{5}$ として書き換えます。

$x = e^{5}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 6.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = e^{5}$

ステップ 8

$x = e^{5}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2}{e^{5}}$

ステップ 9

$x = e^{5}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = e^{5}$ は極小値です

ステップ 10

$x = e^{5}$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $e^{5}$ で置換えます。

$f (e^{5}) = 2 (e^{5}) \ln (e^{5}) - 12 e^{5}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

対数の法則を利用して指数の外に $5$ を移動します。

$f (e^{5}) = 2 e^{5} (5 \ln (e)) - 12 e^{5}$

ステップ 10.2.1.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (e^{5}) = 2 e^{5} (5 \cdot 1) - 12 e^{5}$

ステップ 10.2.1.3

$5$ に $1$ をかけます。

$f (e^{5}) = 2 e^{5} \cdot 5 - 12 e^{5}$

ステップ 10.2.1.4

$5$ に $2$ をかけます。

$f (e^{5}) = 10 e^{5} - 12 e^{5}$

ステップ 10.2.2

$10 e^{5}$ から $12 e^{5}$ を引きます。

$f (e^{5}) = - 2 e^{5}$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $- 2 e^{5}$ です。

$y = - 2 e^{5}$

ステップ 11

$f (x) = 2 x \ln (x) - 12 x$ の極値です。

$(e^{5}, - 2 e^{5})$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例