微分積分例

$lim_{x \to 5} \frac{\sin (3 x)}{2 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 5} \frac{\sin (3 x)}{x}$

ステップ 2

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} \sin (3 x)}{lim_{x \to 5} x}$

ステップ 3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 5} 3 x)}{lim_{x \to 5} x}$

ステップ 4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 5} x)}{lim_{x \to 5} x}$

ステップ 5

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} x}$

ステップ 5.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 5)}{5}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (15)}{5}$

ステップ 6.1.2

$\sin (15)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ です。

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ステップ 6.1.2.1

$15$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45 - 30)}{5}$

ステップ 6.1.2.2

否定を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45 - (30))}{5}$

ステップ 6.1.2.3

角の差の公式を当てはめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{5}$

ステップ 6.1.2.4

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{5}$

ステップ 6.1.2.5

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{5}$

ステップ 6.1.2.6

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{5}$

ステップ 6.1.2.7

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

ステップ 6.1.2.8

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.1.2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.2.8.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.8.1.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

ステップ 6.1.2.8.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

ステップ 6.1.2.8.1.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

ステップ 6.1.2.8.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

ステップ 6.1.2.8.1.2

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.8.1.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{5}$

ステップ 6.1.2.8.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{5}$

ステップ 6.1.2.8.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{5}$

ステップ 6.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{5})$

ステップ 6.3

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{5}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 5}$

ステップ 6.3.2

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$

ステップ 6.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 20}$

ステップ 6.4.2

$2$ に $20$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

10進法形式：

$0.02588190 \dots$

微分積分 例

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