微分積分例

$lim_{x \to 4} \frac{3 (y^{2} - 1)}{6 y^{2} {(y - 1)}^{3}}$

ステップ 1

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1

$3$ を $6 y^{2} {(y - 1)}^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{3 (y^{2} - 1)}{3 (2 y^{2} {(y - 1)}^{3})}$

ステップ 1.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 4} \frac{3 (y^{2} - 1)}{3 (2 y^{2} {(y - 1)}^{3})}$

ステップ 1.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{y^{2} - 1}{2 y^{2} {(y - 1)}^{3}}$

ステップ 2

$x$ が $4$ に近づくと定数である $\frac{y^{2} - 1}{2 y^{2} {(y - 1)}^{3}}$ の極限値を求めます。

$\frac{y^{2} - 1}{2 y^{2} {(y - 1)}^{3}}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{2 y^{2} {(y - 1)}^{3}}$

ステップ 3.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{2 y^{2} {(y - 1)}^{3}}$

ステップ 3.2

$y - 1$ と ${(y - 1)}^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$y - 1$ を $(y + 1) (y - 1)$ で因数分解します。

$\frac{(y - 1) (y + 1)}{2 y^{2} {(y - 1)}^{3}}$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$y - 1$ を $2 y^{2} {(y - 1)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{(y - 1) (y + 1)}{(y - 1) (2 y^{2} {(y - 1)}^{2})}$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(y - 1) (y + 1)}{(y - 1) (2 y^{2} {(y - 1)}^{2})}$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{y + 1}{2 y^{2} {(y - 1)}^{2}}$

微分積分 例