微分積分例

$lim_{x \to 4} \frac{4 x^{3} - 256}{x - 4}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x^{3} - 256}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x^{3} - lim_{x \to 4} 256}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.1.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 lim_{x \to 4} x^{3} - lim_{x \to 4} 256}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{4 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - lim_{x \to 4} 256}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $4$ に近づくと定数である $256$ の極限値を求めます。

$\frac{4 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 1 \cdot 256}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 \cdot 4^{3} - 1 \cdot 256}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

指数を足して $4$ に $4^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1.1

$4$ に $4^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1.1.1

$4$ を $1$ 乗します。

$\frac{4^{1} \cdot 4^{3} - 1 \cdot 256}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4^{1 + 3} - 1 \cdot 256}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{4^{4} - 1 \cdot 256}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$4$ を $4$ 乗します。

$\frac{256 - 1 \cdot 256}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 1$ に $256$ をかけます。

$\frac{256 - 256}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.2.3.2

$256$ から $256$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 4}$

ステップ 1.1.3.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 4} \frac{4 x^{3} - 256}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 256]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 256]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $4 x^{3} - 256$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 256]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 256]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.4

$- 256$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 256$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{12 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.5

$12 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{12 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 1.3.8

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{12 x^{2}}{1 + 0}$

ステップ 1.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{12 x^{2}}{1}$

ステップ 1.4

$12 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 4} 12 x^{2}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$12$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$12 lim_{x \to 4} x^{2}$

ステップ 2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$12 {(lim_{x \to 4} x)}^{2}$

ステップ 3

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$12 \cdot 4^{2}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$4$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 16$

ステップ 4.2

$12$ に $16$ をかけます。

$192$

微分積分 例

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