微分積分例

$lim_{x \to 3} 4 \sin (x π) + 2 \cos (x π)$

ステップ 1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 3} 4 \sin (x π) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

ステップ 2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 lim_{x \to 3} \sin (x π) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

ステップ 3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \sin (lim_{x \to 3} x π) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

ステップ 4

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

ステップ 5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + 2 lim_{x \to 3} \cos (x π)$

ステップ 6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + 2 \cos (lim_{x \to 3} x π)$

ステップ 7

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + 2 \cos (π lim_{x \to 3} x)$

ステップ 8

すべての $x$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \sin (π \cdot 3) + 2 \cos (π lim_{x \to 3} x)$

ステップ 8.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \sin (π \cdot 3) + 2 \cos (π \cdot 3)$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$4 \sin (3 \cdot π) + 2 \cos (π \cdot 3)$

ステップ 9.1.2

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$4 \sin (π) + 2 \cos (π \cdot 3)$

ステップ 9.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$4 \sin (0) + 2 \cos (π \cdot 3)$

ステップ 9.1.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 \cdot 0 + 2 \cos (π \cdot 3)$

ステップ 9.1.5

$4$ に $0$ をかけます。

$0 + 2 \cos (π \cdot 3)$

ステップ 9.1.6

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$0 + 2 \cos (3 \cdot π)$

ステップ 9.1.7

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$0 + 2 \cos (π)$

ステップ 9.1.8

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$0 + 2 (- \cos (0))$

ステップ 9.1.9

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 2 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 9.1.10

$2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 9.1.10.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 + 2 \cdot - 1$

ステップ 9.1.10.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2$

ステップ 9.2

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

微分積分 例

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