微分積分例

$lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2 + 4 x - 21}}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 3}{lim_{x \to 3} x^{2 + 4 x - 21}}$

ステップ 1.2

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 + 4 x - 21}}$

ステップ 1.3

$x$ が $3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{2 + 4 x - 21}}$

ステップ 1.4

$2$ から $21$ を引きます。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{4 x - 19}}$

ステップ 2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{4 x - 19}$ を $e^{\ln (x^{4 x - 19})}$ に書き換えます。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{\ln (x^{4 x - 19})}}$

ステップ 2.2

$4 x - 19$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{4 x - 19})$ を展開します。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{(4 x - 19) \ln (x)}}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

指数に極限を移動させます。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} (4 x - 19) \ln (x)}}$

ステップ 3.2

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} 4 x - 19 \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

ステップ 3.3

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 19) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

ステップ 3.4

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 19) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

ステップ 3.5

$x$ が $3$ に近づくと定数である $19$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 19) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

ステップ 3.6

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 19) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

ステップ 4

すべての $x$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 19) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

ステップ 4.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{e^{(4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

ステップ 4.3

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{e^{(4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して $e^{(4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$ を分子に移動させます。

$(3 - 1 \cdot 3) e^{- (4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

ステップ 5.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$(3 - 3) e^{- (4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

ステップ 5.3

$3$ から $3$ を引きます。

$0 e^{- (4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

ステップ 5.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$4$ に $3$ をかけます。

$0 e^{- (12 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

ステップ 5.4.2

$- 1$ に $19$ をかけます。

$0 e^{- (12 - 19) \cdot \ln (3)}$

ステップ 5.5

$12$ から $19$ を引きます。

$0 e^{- - 7 \cdot \ln (3)}$

ステップ 5.6

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$0 e^{7 \cdot \ln (3)}$

ステップ 5.7

対数の中の $7$ を移動させて $7 \cdot \ln (3)$ を簡約します。

$0 e^{\ln (3^{7})}$

ステップ 5.8

指数関数と対数関数は逆関数です。

$0 \cdot 3^{7}$

ステップ 5.9

$3$ を $7$ 乗します。

$0 \cdot 2187$

ステップ 5.10

$0$ に $2187$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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