微分積分例

$lim_{x \to 3} \sqrt[3]{\frac{2 + 5 x - 3 x^{4}}{x^{2} - 1}}$

ステップ 1

根号の下に極限を移動させます。

$\sqrt[3]{lim_{x \to 3} \frac{2 + 5 x - 3 x^{4}}{x^{2} - 1}}$

ステップ 2

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + 5 x - 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

ステップ 3

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

ステップ 4

$x$ が $3$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\sqrt[3]{\frac{2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

ステップ 5

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

ステップ 6

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 lim_{x \to 3} x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

ステップ 7

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

ステップ 8

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

ステップ 9

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

ステップ 10

$x$ が $3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

ステップ 11

すべての $x$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

ステップ 11.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

ステップ 11.3

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{4}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

ステップ 12

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$5$ に $3$ をかけます。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 3^{4}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

ステップ 12.2

$3$ を $4$ 乗します。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 81}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

ステップ 12.3

$- 3$ に $81$ をかけます。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 243}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

ステップ 12.4

$2$ と $15$ をたし算します。

$\sqrt[3]{\frac{17 - 243}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

ステップ 12.5

$17$ から $243$ を引きます。

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

ステップ 12.6

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{9 - 1 \cdot 1}}$

ステップ 12.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{9 - 1}}$

ステップ 12.8

$9$ から $1$ を引きます。

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{8}}$

ステップ 12.9

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.9.1

$- 226$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.9.1.1

$2$ を $- 226$ で因数分解します。

$\sqrt[3]{\frac{2 (- 113)}{8}}$

ステップ 12.9.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.9.1.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\sqrt[3]{\frac{2 \cdot - 113}{2 \cdot 4}}$

ステップ 12.9.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt[3]{\frac{2 \cdot - 113}{2 \cdot 4}}$

ステップ 12.9.1.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt[3]{\frac{- 113}{4}}$

ステップ 12.9.2

分数の前に負数を移動させます。

$\sqrt[3]{- \frac{113}{4}}$

ステップ 12.10

$- \frac{113}{4}$ を ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{113}{4}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.10.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{113}{4}}$

ステップ 12.10.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$\sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{113}{4}}$

ステップ 12.11

累乗根の下から項を取り出します。

${(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{113}{4}}$

ステップ 12.12

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \sqrt[3]{\frac{113}{4}}$

ステップ 12.13

$\sqrt[3]{\frac{113}{4}}$ を $\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$

ステップ 12.14

$\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

ステップ 12.15

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 12.15.1

$\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 12.15.2

$\sqrt[3]{4}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 12.15.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

ステップ 12.15.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

ステップ 12.15.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ を $4$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.15.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4}$ を $4^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 12.15.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 12.15.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 12.15.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.15.5.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 12.15.5.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

ステップ 12.15.5.5

指数を求めます。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

ステップ 12.16

分子を簡約します。

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ステップ 12.16.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ を $\sqrt[3]{4^{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

ステップ 12.16.2

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{16}}{4}$

ステップ 12.16.3

$16$ を $2^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.16.3.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

ステップ 12.16.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

ステップ 12.16.4

累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{\sqrt[3]{113} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

ステップ 12.16.5

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.16.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{2 \sqrt[3]{113 \cdot 2}}{4}$

ステップ 12.16.5.2

$113$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{4}$

ステップ 12.17

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.17.1

$2$ を $2 \sqrt[3]{226}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (\sqrt[3]{226})}{4}$

ステップ 12.17.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.17.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.17.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.17.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{226}}{2}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\sqrt[3]{226}}{2}$

10進法形式：

$- 3.04559967 \dots$

微分積分 例

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