微分積分例

$lim_{x \to 3} \frac{x^{4} - 81}{t^{3} - 27}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{t^{3} - 27}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{t^{3} - 27} lim_{x \to 3} x^{4} - 81$

ステップ 1.2

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{t^{3} - 27} (lim_{x \to 3} x^{4} - lim_{x \to 3} 81)$

ステップ 1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{t^{3} - 27} ({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - lim_{x \to 3} 81)$

ステップ 1.4

$x$ が $3$ に近づくと定数である $81$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{t^{3} - 27} ({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 81)$

ステップ 2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{t^{3} - 27} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{t^{3} - 3^{3}} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

ステップ 3.1.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = t$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + t \cdot 3 + 3^{2})} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

ステップ 3.1.3

簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

$3$ を $t$ の左に移動させます。

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 \cdot t + 3^{2})} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

ステップ 3.1.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (81 - 1 \cdot 81)$

ステップ 3.2.2

$- 1$ に $81$ をかけます。

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (81 - 81)$

ステップ 3.3

$81$ から $81$ を引きます。

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} \cdot 0$

ステップ 3.4

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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