微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) d x$

ステップ 1

$\sin^{2} (x)$ を因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

ステップ 2

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

ステップ 3

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 3.2

$u = \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (0)$

ステップ 3.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 3.4

$u = \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 3.5

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$u_{upper} = 0$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{0} - 1 + u^{2} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{0} - 1 d u + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$- u]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- u]_{1}^{0} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

ステップ 7

$- u]_{1}^{0}$ と $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$ をまとめます。

$- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$0$ および $1$ で $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$(- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 8.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 8.2.3

$\frac{1}{3}$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 8.2.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 8.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

ステップ 8.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

ステップ 8.2.7

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$0 - (- 1 + \frac{1}{3})$

ステップ 8.2.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

ステップ 8.2.9

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

ステップ 8.2.10

公分母の分子をまとめます。

$0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

ステップ 8.2.11

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.11.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$0 - \frac{- 3 + 1}{3}$

ステップ 8.2.11.2

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$0 - \frac{- 2}{3}$

ステップ 8.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$0 - - \frac{2}{3}$

ステップ 8.2.13

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 (\frac{2}{3})$

ステップ 8.2.14

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{2}{3}$

ステップ 8.2.15

$0$ と $\frac{2}{3}$ をたし算します。

$\frac{2}{3}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{6}$

微分積分 例

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