微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) - 1}{3 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) - 1}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x) - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $\cos (2 x) - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (2 x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$- 2 \sin (2 x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (2 x)}{1}$

ステップ 2.4

$- 2 \sin (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - 2 \sin (2 x)$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \sin (2 x)$

ステップ 3.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \sin (lim_{x \to 0} 2 x)$

ステップ 3.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \sin (2 lim_{x \to 0} x)$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \sin (2 \cdot 0)$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{3} \sin (2 \cdot 0)$

ステップ 5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{3} \sin (2 \cdot 0)$

ステップ 5.3

$2$ に $0$ をかけます。

$- \frac{2}{3} \sin (0)$

ステップ 5.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{2}{3} \cdot 0$

ステップ 5.5

$- \frac{2}{3} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 5.5.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 (\frac{2}{3})$

ステップ 5.5.2

$0$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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