微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{e^{2 x} - 1}{\sin (3 x)}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} e^{2 x} - 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

ステップ 2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 8} e^{2 x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

ステップ 3

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

ステップ 4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

ステップ 5

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

ステップ 6

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{\sin (lim_{x \to 8} 3 x)}$

ステップ 7

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{\sin (3 lim_{x \to 8} x)}$

ステップ 8

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 1}{\sin (3 lim_{x \to 8} x)}$

ステップ 8.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 1}{\sin (3 \cdot 8)}$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$e^{2 \cdot 8}$ を ${(e^{8})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(e^{8})}^{2} - 1 \cdot 1}{\sin (3 \cdot 8)}$

ステップ 9.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(e^{8})}^{2} - 1^{2}}{\sin (3 \cdot 8)}$

ステップ 9.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{8}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{8} - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

ステップ 9.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.4.1

$e^{8}$ を ${(e^{4})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(e^{8} + 1) ({(e^{4})}^{2} - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

ステップ 9.1.4.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(e^{8} + 1) ({(e^{4})}^{2} - 1^{2})}{\sin (3 \cdot 8)}$

ステップ 9.1.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{4}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) (e^{4} - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

ステップ 9.1.4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.4.4.1

$e^{4}$ を ${(e^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

ステップ 9.1.4.4.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1^{2}))}{\sin (3 \cdot 8)}$

ステップ 9.1.4.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)))}{\sin (3 \cdot 8)}$

ステップ 9.1.4.4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.4.4.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})))}{\sin (3 \cdot 8)}$

ステップ 9.1.4.4.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)))}{\sin (3 \cdot 8)}$

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{\sin (24)}$

ステップ 9.2.2

$\sin (24)$ の値を求めます。

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.3

$e$ を概算で置き換えます。

$\frac{({2.71828182}^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.4

$2.71828182$ を $8$ 乗します。

$\frac{(2980.95798704 + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.5

$2980.95798704$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2981.95798704 (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.6

$e$ を概算で置き換えます。

$\frac{2981.95798704 ({2.71828182}^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.7

$2.71828182$ を $4$ 乗します。

$\frac{2981.95798704 (54.59815003 + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.8

$54.59815003$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2981.95798704 \cdot 55.59815003 (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.9

$2981.95798704$ に $55.59815003$ をかけます。

$\frac{165791.34755607 (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.10

$e$ を概算で置き換えます。

$\frac{165791.34755607 ({2.71828182}^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.11

$2.71828182$ を $2$ 乗します。

$\frac{165791.34755607 (7.38905609 + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.12

$7.38905609$ と $1$ をたし算します。

$\frac{165791.34755607 \cdot 8.38905609 (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.13

$165791.34755607$ に $8.38905609$ をかけます。

$\frac{1390832.91536521 (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.14

$e$ を概算で置き換えます。

$\frac{1390832.91536521 (2.71828182 + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.15

$2.71828182$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1390832.91536521 \cdot 3.71828182 (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.16

$1390832.91536521$ に $3.71828182$ をかけます。

$\frac{5171508.75562519 (e - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.17

$e$ を概算で置き換えます。

$\frac{5171508.75562519 (2.71828182 - 1)}{0.40673664}$

ステップ 9.18

$2.71828182$ から $1$ を引きます。

$\frac{5171508.75562519 \cdot 1.71828182}{0.40673664}$

ステップ 9.19

$5171508.75562519$ に $1.71828182$ をかけます。

$\frac{8886109.52050758}{0.40673664}$

ステップ 9.20

$8886109.52050758$ を $0.40673664$ で割ります。

$21847329.64630275$

微分積分 例

微分積分例