微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{1 - (\cos^{2} (3 x))}{x \sin (5 x)}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - (\cos^{2} (3 x))}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

ステップ 2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

ステップ 3

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

ステップ 4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (3 x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1 - {(lim_{x \to 8} \cos (3 x))}^{2}}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

ステップ 5

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 8} 3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

ステップ 6

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

ステップ 7

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (5 x)}$

ステップ 8

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} 5 x)}$

ステップ 9

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

ステップ 10

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 10.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

ステップ 10.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

ステップ 10.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

ステップ 11.2

$\sin (3 \cdot 8)$ を $\sin^{2} (3 \cdot 8)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (3 \cdot 8) \sin (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

ステップ 11.3

分数を分解します。

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$

ステップ 11.4

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$ を積として書き換えます。

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

ステップ 11.5

$\sin (3 \cdot 8)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\frac{\sin (3 \cdot 8)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

ステップ 11.6

簡約します。

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ステップ 11.6.1

$\sin (3 \cdot 8)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

ステップ 11.6.2

$\frac{1}{\sin (5 \cdot 8)}$ を $\csc (5 \cdot 8)$ に変換します。

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

ステップ 11.7

分子を簡約します。

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ステップ 11.7.1

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{\sin (24)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

ステップ 11.7.2

$\sin (24)$ の値を求めます。

$\frac{0.40673664}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

ステップ 11.8

$0.40673664$ を $8$ で割ります。

$0.05084208 (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

ステップ 11.9

$3$ に $8$ をかけます。

$0.05084208 (\sin (24) \csc (5 \cdot 8))$

ステップ 11.10

$\sin (24)$ の値を求めます。

$0.05084208 (0.40673664 \csc (5 \cdot 8))$

ステップ 11.11

$5$ に $8$ をかけます。

$0.05084208 (0.40673664 \csc (40))$

ステップ 11.12

$\csc (40)$ の値を求めます。

$0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$

ステップ 11.13

$0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$ を掛けます。

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ステップ 11.13.1

$0.40673664$ に $1.55572382$ をかけます。

$0.05084208 \cdot 0.63276988$

ステップ 11.13.2

$0.05084208$ に $0.63276988$ をかけます。

$0.03217133$

微分積分 例

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