微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2}) x}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} (\sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2}) x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

ステップ 2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2} \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

ステップ 3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{(lim_{x \to 8} \sqrt{5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

ステップ 4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{(\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

ステップ 5

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

ステップ 6

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

ステップ 7

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x - lim_{x \to 8} 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

ステップ 8

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

ステップ 9

$x$ が $8$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

ステップ 10

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

ステップ 11

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

ステップ 11.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

ステップ 11.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

ステップ 11.4

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

ステップ 12

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$5$ に $8$ をかけます。

$\frac{(\sqrt{40} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

ステップ 12.1.2

$40$ を $2^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

$4$ を $40$ で因数分解します。

$\frac{(\sqrt{4 (10)} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

ステップ 12.1.2.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(\sqrt{2^{2} \cdot 10} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

ステップ 12.1.3

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

ステップ 12.1.4

$5$ に $8$ をかけます。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{40 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

ステップ 12.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{40 - 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

ステップ 12.1.6

$40$ から $2$ を引きます。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

ステップ 12.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{4 (2)}}$

ステップ 12.2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

ステップ 12.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 12.3

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$2$ を $(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8$ で因数分解します。

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 12.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 (\sqrt{2})}$

ステップ 12.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 12.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4}{\sqrt{2}}$

ステップ 12.4

$4$ を $2 \sqrt{10} - \sqrt{38}$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$

ステップ 12.5

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 12.6

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.1

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 12.6.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 12.6.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 12.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 12.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 12.6.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 12.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 12.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 12.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 12.6.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 12.6.6.5

指数を求めます。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2}$

ステップ 12.7

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.7.1

$2$ を $4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2}$

ステップ 12.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2 (1)}$

ステップ 12.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{1}$

ステップ 12.7.2.4

$2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$

ステップ 12.8

分配則を当てはめます。

$(2 (2 \sqrt{10}) + 2 (- \sqrt{38})) \sqrt{2}$

ステップ 12.9

$2$ に $2$ をかけます。

$(4 \sqrt{10} + 2 (- \sqrt{38})) \sqrt{2}$

ステップ 12.10

$- 1$ に $2$ をかけます。

$(4 \sqrt{10} - 2 \sqrt{38}) \sqrt{2}$

ステップ 12.11

分配則を当てはめます。

$4 \sqrt{10} \sqrt{2} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

ステップ 12.12

$4 \sqrt{10} \sqrt{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.12.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$4 \sqrt{2 \cdot 10} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

ステップ 12.12.2

$2$ に $10$ をかけます。

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

ステップ 12.13

$- 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.13.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2 \cdot 38}$

ステップ 12.13.2

$2$ に $38$ をかけます。

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{76}$

ステップ 12.14

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.14.1

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.14.1.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$4 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{76}$

ステップ 12.14.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$4 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{76}$

ステップ 12.14.2

累乗根の下から項を取り出します。

$4 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{76}$

ステップ 12.14.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{76}$

ステップ 12.14.4

$76$ を $2^{2} \cdot 19$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.14.4.1

$4$ を $76$ で因数分解します。

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{4 (19)}$

ステップ 12.14.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 19}$

ステップ 12.14.5

累乗根の下から項を取り出します。

$8 \sqrt{5} - 2 (2 \sqrt{19})$

ステップ 12.14.6

$2$ に $- 2$ をかけます。

$8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{19}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{19}$

10進法形式：

$0.45294804 \dots$

微分積分 例

微分積分例