微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{6 x^{3} + 3 x^{2} \cdot (8 x) + 8}{2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x^{3} + 3 x^{2} \cdot (8 x) + 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

ステップ 2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x^{3} + lim_{x \to 8} 3 x^{2} \cdot (8 x) + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

ステップ 3

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{6 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 3 x^{2} \cdot (8 x) + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

ステップ 4

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 3 x^{2} \cdot (8 x) + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

ステップ 5

$3 \cdot 8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 lim_{x \to 8} x^{2} x + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

ステップ 6

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 lim_{x \to 8} x^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

ステップ 7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

ステップ 8

$x$ が $8$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

ステップ 9

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 10 x + lim_{x \to 8} 2}$

ステップ 10

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{2 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 10 x + lim_{x \to 8} 2}$

ステップ 11

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 10 x + lim_{x \to 8} 2}$

ステップ 12

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 10 x + lim_{x \to 8} 2}$

ステップ 13

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 10 x + lim_{x \to 8} 2}$

ステップ 14

$10$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}$

ステップ 15

$x$ が $8$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 8} x + 2}$

ステップ 16

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 16.1