微分積分例

$lim_{x \to 8} (3 + \sqrt[3]{x}) (5 - 6 x^{2 + x^{3}})$

ステップ 1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to 8} 3 + \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 8} 5 - 6 x^{2 + x^{3}}$

ステップ 1.2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$(lim_{x \to 8} 3 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 5 - 6 x^{2 + x^{3}}$

ステップ 1.3

$x$ が $8$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$(3 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 5 - 6 x^{2 + x^{3}}$

ステップ 1.4

根号の下に極限を移動させます。

$(3 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} 5 - 6 x^{2 + x^{3}}$

ステップ 1.5

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$(3 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (lim_{x \to 8} 5 - lim_{x \to 8} 6 x^{2 + x^{3}})$

ステップ 1.6

$x$ が $8$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$(3 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (5 - lim_{x \to 8} 6 x^{2 + x^{3}})$

ステップ 1.7

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$(3 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (5 - 6 lim_{x \to 8} x^{2 + x^{3}})$

ステップ 2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{2 + x^{3}}$ を $e^{\ln (x^{2 + x^{3}})}$ に書き換えます。

$(3 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (5 - 6 lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{2 + x^{3}})})$

ステップ 2.2

$2 + x^{3}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{2 + x^{3}})$ を展開します。

$(3 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (5 - 6 lim_{x \to 8} e^{(2 + x^{3}) \ln (x)})$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

指数に極限を移動させます。

$(3 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (5 - 6 e^{lim_{x \to 8} (2 + x^{3}) \ln (x)})$

ステップ 3.2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$(3 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (5 - 6 e^{lim_{x \to 8} 2 + x^{3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

ステップ 3.3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$(3 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (5 - 6 e^{(lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} x^{3}) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

ステップ 3.4

$x$ が $8$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$(3 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (5 - 6 e^{(2 + lim_{x \to 8} x^{3}) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

ステップ 3.5

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$(3 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (5 - 6 e^{(2 + {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

ステップ 3.6

対数の内側に極限を移動させます。

$(3 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (5 - 6 e^{(2 + {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

ステップ 4

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$(3 + \sqrt[3]{8}) \cdot (5 - 6 e^{(2 + {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

ステップ 4.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$(3 + \sqrt[3]{8}) \cdot (5 - 6 e^{(2 + 8^{3}) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

ステップ 4.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$(3 + \sqrt[3]{8}) \cdot (5 - 6 e^{(2 + 8^{3}) \cdot \ln (8)})$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$(3 + \sqrt[3]{2^{3}}) \cdot (5 - 6 e^{(2 + 8^{3}) \cdot \ln (8)})$

ステップ 5.1.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$(3 + 2) \cdot (5 - 6 e^{(2 + 8^{3}) \cdot \ln (8)})$

ステップ 5.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$5 \cdot (5 - 6 e^{(2 + 8^{3}) \cdot \ln (8)})$

ステップ 5.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$8$ を $3$ 乗します。

$5 \cdot (5 - 6 e^{(2 + 512) \cdot \ln (8)})$

ステップ 5.3.2

$2$ と $512$ をたし算します。

$5 \cdot (5 - 6 e^{514 \cdot \ln (8)})$

ステップ 5.3.3

対数の中の $514$ を移動させて $514 \cdot \ln (8)$ を簡約します。

$5 \cdot (5 - 6 e^{\ln (8^{514})})$

ステップ 5.3.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$5 \cdot (5 - 6 \cdot 8^{514})$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$5 \cdot 5 + 5 (- 6 \cdot 8^{514})$

ステップ 5.5

$5$ に $5$ をかけます。

$25 + 5 (- 6 \cdot 8^{514})$

ステップ 5.6

$- 6$ に $5$ をかけます。

$25 - 30 \cdot 8^{514}$

微分積分 例

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