微分積分例

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 9 x + 20}{x^{3} - 5 x^{2}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 9 x + 20}{lim_{x \to 5} x^{3} - 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 9 x + lim_{x \to 5} 20}{lim_{x \to 5} x^{3} - 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 9 x + lim_{x \to 5} 20}{lim_{x \to 5} x^{3} - 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 9 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 20}{lim_{x \to 5} x^{3} - 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $5$ に近づくと定数である $20$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 9 lim_{x \to 5} x + 20}{lim_{x \to 5} x^{3} - 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{5^{2} - 9 lim_{x \to 5} x + 20}{lim_{x \to 5} x^{3} - 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{5^{2} - 9 \cdot 5 + 20}{lim_{x \to 5} x^{3} - 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{25 - 9 \cdot 5 + 20}{lim_{x \to 5} x^{3} - 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

$- 9$ に $5$ をかけます。

$\frac{25 - 45 + 20}{lim_{x \to 5} x^{3} - 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$25$ から $45$ を引きます。

$\frac{- 20 + 20}{lim_{x \to 5} x^{3} - 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.3

$- 20$ と $20$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{3} - 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{3} - lim_{x \to 5} 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{3} - lim_{x \to 5} 5 x^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 5} x^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{3} - 5 {(lim_{x \to 5} x)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5^{3} - 5 {(lim_{x \to 5} x)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5^{3} - 5 \cdot 5^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1.1

$5$ を $3$ 乗します。

$\frac{0}{125 - 5 \cdot 5^{2}}$

ステップ 1.1.3.6.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{125 - 5 \cdot 25}$

ステップ 1.1.3.6.1.3

$- 5$ に $25$ をかけます。

$\frac{0}{125 - 125}$

ステップ 1.1.3.6.2

$125$ から $125$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 9 x + 20}{x^{3} - 5 x^{2}} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9 x + 20]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x^{2}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9 x + 20]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x^{2}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 9 x + 20$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x^{2}]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x^{2}]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 9$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 9 + \frac{d}{d x} [20]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x^{2}]}$

ステップ 1.3.5

$20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $20$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 9 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x^{2}]}$

ステップ 1.3.6

$2 x - 9$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 9}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x^{2}]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $x^{3} - 5 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 9}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}$

ステップ 1.3.8

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 9}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}$

ステップ 1.3.9

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.9.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 9}{3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.9.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 9}{3 x^{2} - 5 (2 x)}$

ステップ 1.3.9.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 9}{3 x^{2} - 10 x}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x - 9}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x}$

ステップ 2.2

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 9}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x}$

ステップ 2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 9}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x}$

ステップ 2.4

$x$ が $5$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x}$

ステップ 2.5

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - lim_{x \to 5} 10 x}$

ステップ 2.6

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 9}{3 lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 10 x}$

ステップ 2.7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 9}{3 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 10 x}$

ステップ 2.8

$10$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 9}{3 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 5} x}$

ステップ 3

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 9}{3 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 5} x}$

ステップ 3.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 9}{3 \cdot 5^{2} - 10 lim_{x \to 5} x}$

ステップ 3.3

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 9}{3 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{10 - 1 \cdot 9}{3 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{10 - 9}{3 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5}$

ステップ 4.1.3

$10$ から $9$ を引きます。

$\frac{1}{3 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{3 \cdot 25 - 10 \cdot 5}$

ステップ 4.2.2

$3$ に $25$ をかけます。

$\frac{1}{75 - 10 \cdot 5}$

ステップ 4.2.3

$- 10$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{75 - 50}$

ステップ 4.2.4

$75$ から $50$ を引きます。

$\frac{1}{25}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{25}$

10進法形式：

$0.04$

微分積分 例

微分積分例