微分積分例

$lim_{x \to 5} (\frac{8^{3 x}}{x - 5}) + \frac{8^{15}}{x - 5}$

ステップ 1

公分母を利用して分数をまとめます。

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ステップ 1.1

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 5} \frac{8^{3 x} + 8^{15}}{x - 5}$

ステップ 1.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$8^{3 x}$ を ${(8^{x})}^{3}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 5} \frac{{(8^{x})}^{3} + 8^{15}}{x - 5}$

ステップ 1.2.2

$8^{15}$ を ${(8^{5})}^{3}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 5} \frac{{(8^{x})}^{3} + {(8^{5})}^{3}}{x - 5}$

ステップ 1.2.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 8^{x}$ であり、 $b = 8^{5}$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 8^{5}) ({(8^{x})}^{2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

ステップ 1.2.4

簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$8$ を $5$ 乗します。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) ({(8^{x})}^{2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

ステップ 1.2.4.2

${(8^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{x \cdot 2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

ステップ 1.2.4.2.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

ステップ 1.2.4.3

指数を足して $8^{x}$ に $8^{5}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.3.1

$8^{5}$ を移動させます。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - (8^{5} \cdot 8^{x}) + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

ステップ 1.2.4.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

ステップ 1.2.4.4

${(8^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.4.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 8^{5 \cdot 2})}{x - 5}$

ステップ 1.2.4.4.2

$5$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 8^{10})}{x - 5}$

ステップ 1.2.4.5

$8$ を $10$ 乗します。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 1073741824)}{x - 5}$

ステップ 1.2.4.6

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} + 1073741824 - 8^{5 + x})}{x - 5}$

ステップ 2

関数が左から $- \infty$ に右から $\infty$ に近づくので、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

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