微分積分例

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{3}}{\sin (x - 5) - (x - 5)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 5} {(x - 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を ${(x - 5)}^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $5$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{{(5 - 5)}^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

ステップ 1.1.2.3.2

$5$ から $5$ を引きます。

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

ステップ 1.1.2.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5) - (x - 5)}$

ステップ 1.1.3

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ を $5$ に代入し、 $\sin (x - 5) - (x - 5)$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (5 - 5) - (5 - 5)}$

ステップ 1.1.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

$5$ から $5$ を引きます。

$\frac{0}{\sin (0) - (5 - 5)}$

ステップ 1.1.3.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0 - (5 - 5)}$

ステップ 1.1.3.2.3

$5$ から $5$ を引きます。

$\frac{0}{0 - 0}$

ステップ 1.1.3.2.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.1.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{3}}{\sin (x - 5) - (x - 5)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

ステップ 1.3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

ステップ 1.3.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

ステップ 1.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

ステップ 1.3.7

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5) - (x - 5)]}$

ステップ 1.3.8

総和則では、 $\sin (x - 5) - (x - 5)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

ステップ 1.3.9

$\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.9.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.9.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

ステップ 1.3.9.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

ステップ 1.3.9.1.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

ステップ 1.3.9.2

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

ステップ 1.3.9.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

ステップ 1.3.9.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

ステップ 1.3.9.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

ステップ 1.3.9.6

$\cos (x - 5)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) + \frac{d}{d x} [- (x - 5)]}$

ステップ 1.3.10

$\frac{d}{d x} [- (x - 5)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x - 5)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x - 5]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - \frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 1.3.10.2

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

ステップ 1.3.10.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

ステップ 1.3.10.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - (1 + 0)}$

ステップ 1.3.10.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.10.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{\cos (x - 5) - 1}$

ステップ 1.3.11

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 5} \frac{3 {(x - 5)}^{2}}{- 1 + \cos (x - 5)}$

ステップ 2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{2}}{- 1 + \cos (x - 5)}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$3 \frac{lim_{x \to 5} {(x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x - 5)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$3 \frac{{(lim_{x \to 5} x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

ステップ 3.1.2.1.2

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \frac{{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

ステップ 3.1.2.1.3

$x$ が $5$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$3 \frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$3 \frac{{(5 - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

ステップ 3.1.2.3.2

$5$ から $5$ を引きます。

$3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

ステップ 3.1.2.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \frac{0}{lim_{x \to 5} - 1 + \cos (x - 5)}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 5} 1 + lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

ステップ 3.1.3.1.2

$x$ が $5$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$3 \frac{0}{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

ステップ 3.1.3.1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (lim_{x \to 5} x - 5)}$

ステップ 3.1.3.1.4

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

ステップ 3.1.3.1.5

$x$ が $5$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

ステップ 3.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.3.1.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (5 - 5)}$

ステップ 3.1.3.3.1.2

$5$ から $5$ を引きます。

$3 \frac{0}{- 1 + \cos (0)}$

ステップ 3.1.3.3.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$3 \frac{0}{- 1 + 1}$

ステップ 3.1.3.3.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$3 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$3 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$3 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$3 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{2}}{- 1 + \cos (x - 5)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.2

${(x - 5)}^{2}$ を $(x - 5) (x - 5)$ に書き換えます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 5) (x - 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

分配則を当てはめます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - 5) - 5 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.3.2

分配則を当てはめます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.3.3

分配則を当てはめます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.4.1.2

$- 5$ を $x$ の左に移動させます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.4.1.3

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 5 x + 25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.4.2

$- 5 x$ から $5 x$ を引きます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.5

総和則では、 $x^{2} - 10 x + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.7

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.9

$- 10$ に $1$ をかけます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.10

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 + 0}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.11

$2 x - 10$ と $0$ をたし算します。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.12

総和則では、 $- 1 + \cos (x - 5)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.13

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]}$

ステップ 3.3.14

$\frac{d}{d x} [\cos (x - 5)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.14.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.14.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 3.3.14.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 3.3.14.1.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 3.3.14.2

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

ステップ 3.3.14.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

ステップ 3.3.14.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) (1 + 0)}$

ステップ 3.3.14.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5) \cdot 1}$

ステップ 3.3.14.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{0 - \sin (x - 5)}$

ステップ 3.3.15

$0$ から $\sin (x - 5)$ を引きます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{- \sin (x - 5)}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$3 \frac{lim_{x \to 5} 2 x - 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \frac{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \frac{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

ステップ 4.1.2.1.3

$x$ が $5$ に近づくと定数である $10$ の極限値を求めます。

$3 \frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

ステップ 4.1.2.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

ステップ 4.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.1

$2$ に $5$ をかけます。

$3 \frac{10 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

ステップ 4.1.2.3.1.2

$- 1$ に $10$ をかけます。

$3 \frac{10 - 10}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

ステップ 4.1.2.3.2

$10$ から $10$ を引きます。

$3 \frac{0}{lim_{x \to 5} - \sin (x - 5)}$

ステップ 4.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

ステップ 4.1.3.1.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$3 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 5} x - 5)}$

ステップ 4.1.3.1.3

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

ステップ 4.1.3.1.4

$x$ が $5$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$3 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

ステップ 4.1.3.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{0}{- \sin (5 - 1 \cdot 5)}$

ステップ 4.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$3 \frac{0}{- \sin (5 - 5)}$

ステップ 4.1.3.3.2

$5$ から $5$ を引きます。

$3 \frac{0}{- \sin (0)}$

ステップ 4.1.3.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$3 \frac{0}{- 0}$

ステップ 4.1.3.3.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$3 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.1.3.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$3 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$3 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$3 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{- \sin (x - 5)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $2 x - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

ステップ 4.3.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

ステップ 4.3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

ステップ 4.3.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

ステップ 4.3.4

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

ステップ 4.3.5

$2$ と $0$ をたし算します。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{\frac{d}{d x} [- \sin (x - 5)]}$

ステップ 4.3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x - 5)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

ステップ 4.3.7

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 4.3.7.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (u) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 4.3.7.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 4.3.8

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

ステップ 4.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

ステップ 4.3.10

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) (1 + 0)}$

ステップ 4.3.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5) \cdot 1}$

ステップ 4.3.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 lim_{x \to 5} \frac{2}{- \cos (x - 5)}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \cdot 2 lim_{x \to 5} \frac{1}{- \cos (x - 5)}$

ステップ 5.2

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 5} 1}{lim_{x \to 5} - \cos (x - 5)}$

ステップ 5.3

$x$ が $5$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$3 \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 5} - \cos (x - 5)}$

ステップ 5.4

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \cdot 2 \frac{1}{- lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

ステップ 5.5

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (lim_{x \to 5} x - 5)}$

ステップ 5.6

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

ステップ 5.7

$x$ が $5$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

ステップ 6

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \cdot 2 \frac{1}{- \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

ステップ 7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$3$ に $2$ をかけます。

$6 \frac{1}{- \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

ステップ 7.2

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$6 \frac{- 1 (- 1)}{- \cos (5 - 1 \cdot 5)}$

ステップ 7.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$6 (- \frac{1}{\cos (5 - 1 \cdot 5)})$

ステップ 7.3

$\frac{1}{\cos (5 - 1 \cdot 5)}$ を $\sec (5 - 1 \cdot 5)$ に変換します。

$6 (- \sec (5 - 1 \cdot 5))$

ステップ 7.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$6 (- \sec (5 - 5))$

ステップ 7.5

$5$ から $5$ を引きます。

$6 (- \sec (0))$

ステップ 7.6

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$6 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 7.7

$6 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$6 \cdot - 1$

ステップ 7.7.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6$

微分積分 例

微分積分例