微分積分例

$lim_{x \to 5} \frac{30 - 6 x}{\sin (5 x - 25)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 5} 30 - 6 x}{lim_{x \to 5} \sin (5 x - 25)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 5} 30 - lim_{x \to 5} 6 x}{lim_{x \to 5} \sin (5 x - 25)}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $5$ に近づくと定数である $30$ の極限値を求めます。

$\frac{30 - lim_{x \to 5} 6 x}{lim_{x \to 5} \sin (5 x - 25)}$

ステップ 1.1.2.1.3

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{30 - 6 lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} \sin (5 x - 25)}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{30 - 6 \cdot 5}{lim_{x \to 5} \sin (5 x - 25)}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 6$ に $5$ をかけます。

$\frac{30 - 30}{lim_{x \to 5} \sin (5 x - 25)}$

ステップ 1.1.2.3.2

$30$ から $30$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} \sin (5 x - 25)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 5} 5 x - 25)}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 5} 5 x - lim_{x \to 5} 25)}$

ステップ 1.1.3.1.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sin (5 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 25)}$

ステップ 1.1.3.1.4

$x$ が $5$ に近づくと定数である $25$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (5 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 25)}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (5 \cdot 5 - 1 \cdot 25)}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{0}{\sin (25 - 1 \cdot 25)}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\frac{0}{\sin (25 - 25)}$

ステップ 1.1.3.3.2

$25$ から $25$ を引きます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 1.1.3.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 5} \frac{30 - 6 x}{\sin (5 x - 25)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [30 - 6 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x - 25)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [30 - 6 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x - 25)]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $30 - 6 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x - 25)]}$

ステップ 1.3.3

$30$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $30$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x - 25)]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 6 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x - 25)]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x - 25)]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 6}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x - 25)]}$

ステップ 1.3.5

$0$ から $6$ を引きます。

$lim_{x \to 5} \frac{- 6}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x - 25)]}$

ステップ 1.3.6

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x - 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x - 25$ とします。

$lim_{x \to 5} \frac{- 6}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x - 25]}$

ステップ 1.3.6.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{- 6}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x - 25]}$

ステップ 1.3.6.3

$u$ のすべての発生を $5 x - 25$ で置き換えます。

$lim_{x \to 5} \frac{- 6}{\cos (5 x - 25) \frac{d}{d x} [5 x - 25]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $5 x - 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 25]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{- 6}{\cos (5 x - 25) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 25])}$

ステップ 1.3.8

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{- 6}{\cos (5 x - 25) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 25])}$

ステップ 1.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{- 6}{\cos (5 x - 25) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 25])}$

ステップ 1.3.10

$5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{- 6}{\cos (5 x - 25) (5 + \frac{d}{d x} [- 25])}$

ステップ 1.3.11

$- 25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 25$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{- 6}{\cos (5 x - 25) (5 + 0)}$

ステップ 1.3.12

$5$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{- 6}{\cos (5 x - 25) \cdot 5}$

ステップ 1.3.13

$5$ を $\cos (5 x - 25)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 5} \frac{- 6}{5 \cos (5 x - 25)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{- 6}{5}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 6}{5} lim_{x \to 5} \frac{1}{\cos (5 x - 25)}$

ステップ 2.2

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{- 6}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 1}{lim_{x \to 5} \cos (5 x - 25)}$

ステップ 2.3

$x$ が $5$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{- 6}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 5} \cos (5 x - 25)}$

ステップ 2.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{- 6}{5} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 5} 5 x - 25)}$

ステップ 2.5

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- 6}{5} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 5} 5 x - lim_{x \to 5} 25)}$

ステップ 2.6

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 6}{5} \cdot \frac{1}{\cos (5 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 25)}$

ステップ 2.7

$x$ が $5$ に近づくと定数である $25$ の極限値を求めます。

$\frac{- 6}{5} \cdot \frac{1}{\cos (5 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 25)}$

ステップ 3

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 6}{5} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 5 - 1 \cdot 25)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 5 - 1 \cdot 25)}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{\cos (5 \cdot 5 - 1 \cdot 25)}$ を $\sec (5 \cdot 5 - 1 \cdot 25)$ に変換します。

$- \frac{6}{5} \sec (5 \cdot 5 - 1 \cdot 25)$

ステップ 4.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$5$ に $5$ をかけます。

$- \frac{6}{5} \sec (25 - 1 \cdot 25)$

ステップ 4.3.2

$- 1$ に $25$ をかけます。

$- \frac{6}{5} \sec (25 - 25)$

ステップ 4.4

$25$ から $25$ を引きます。

$- \frac{6}{5} \sec (0)$

ステップ 4.5

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{6}{5} \cdot 1$

ステップ 4.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{6}{5}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{6}{5}$

10進法形式：

$- 1.2$

微分積分 例

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