微分積分例

$lim_{x \to - 8} \frac{4 e^{x} - e^{- x}}{e^{x} - 5 e^{- x}}$

ステップ 1

$x$ が $- 8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

ステップ 2

$x$ が $- 8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 e^{x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

ステップ 3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

ステップ 4

指数に極限を移動させます。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

ステップ 5

指数に極限を移動させます。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{lim_{x \to - 8} - x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

ステップ 6

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

ステップ 7

$x$ が $- 8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 5 e^{- x}}$

ステップ 8

指数に極限を移動させます。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 5 e^{- x}}$

ステップ 9

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 lim_{x \to - 8} e^{- x}}$

ステップ 10

指数に極限を移動させます。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{lim_{x \to - 8} - x}}$

ステップ 11

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

ステップ 12

すべての $x$ に $- 8$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$x$ を $- 8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 e^{- 8} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

ステップ 12.2

$x$ を $- 8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

ステップ 12.3

$x$ を $- 8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

ステップ 12.4

$x$ を $- 8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$4 e^{- 8}$ を ${(2 e^{- 4})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(2 e^{- 4})}^{2} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.2

$e^{8}$ を ${(e^{4})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(2 e^{- 4})}^{2} - {(e^{4})}^{2}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 e^{- 4}$ であり、 $b = e^{4}$ です。

$\frac{(2 e^{- 4} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{(2 \frac{1}{e^{4}} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.4.2

$2$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.4.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (2 \frac{1}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.4.4

$2$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.5

$e^{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ を掛けます。

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + \frac{e^{4} e^{4}}{e^{4}}) (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 + e^{4} e^{4}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.7

指数を足して $e^{4}$ に $e^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.7.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2 + e^{4 + 4}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.7.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.8

$- e^{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4} \cdot \frac{e^{4}}{e^{4}})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.9

$- e^{4}$ と $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} + \frac{- e^{4} e^{4}}{e^{4}})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{4} e^{4}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.11

指数を足して $e^{4}$ に $e^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.11.1

$e^{4}$ を移動させます。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - (e^{4} e^{4})}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.11.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{4 + 4}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.1.11.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} - 5 e^{8}}$

ステップ 13.2.2

$- 5 e^{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} - 5 e^{8} \cdot \frac{e^{8}}{e^{8}}}$

ステップ 13.2.3

$- 5 e^{8}$ と $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} + \frac{- 5 e^{8} e^{8}}{e^{8}}}$

ステップ 13.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{8} e^{8}}{e^{8}}}$

ステップ 13.2.5

指数を足して $e^{8}$ に $e^{8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.5.1

$e^{8}$ を移動させます。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 (e^{8} e^{8})}{e^{8}}}$

ステップ 13.2.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{8 + 8}}{e^{8}}}$

ステップ 13.2.5.3

$8$ と $8$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

ステップ 13.3

$\frac{2 + e^{8}}{e^{4}}$ に $\frac{2 - e^{8}}{e^{4}}$ をかけます。

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{4} e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

ステップ 13.4

指数を足して $e^{4}$ に $e^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{4 + 4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

ステップ 13.4.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

ステップ 13.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}} \cdot \frac{e^{8}}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.6

$e^{8}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}} \cdot \frac{e^{8}}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.6.2

式を書き換えます。

$(2 + e^{8}) (2 - e^{8}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.7

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + e^{8}) (2 - e^{8})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.7.1

分配則を当てはめます。

$(2 (2 - e^{8}) + e^{8} (2 - e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.7.2

分配則を当てはめます。

$(2 \cdot 2 + 2 (- e^{8}) + e^{8} (2 - e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.7.3

分配則を当てはめます。

$(2 \cdot 2 + 2 (- e^{8}) + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.8

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.8.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$(4 + 2 (- e^{8}) + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.8.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$(4 - 2 e^{8} + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.8.1.3

$2$ を $e^{8}$ の左に移動させます。

$(4 - 2 e^{8} + 2 \cdot e^{8} + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.8.1.4

指数を足して $e^{8}$ に $e^{8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.8.1.4.1

$e^{8}$ を移動させます。

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{8} e^{8} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.8.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{8 + 8} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.8.1.4.3

$8$ と $8$ をたし算します。

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{16} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.8.1.5

$- 1$ を $e^{16}$ の左に移動させます。

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} - 1 \cdot e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.8.1.6

$- 1 e^{16}$ を $- e^{16}$ に書き換えます。

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.8.2

$- 2 e^{8}$ と $2 e^{8}$ をたし算します。

$(4 + 0 - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.8.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$(4 - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.9

分配則を当てはめます。

$4 \frac{1}{1 - 5 e^{16}} - e^{16} \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.10

$4$ と $\frac{1}{1 - 5 e^{16}}$ をまとめます。

$\frac{4}{1 - 5 e^{16}} - e^{16} \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.11

$\frac{1}{1 - 5 e^{16}}$ と $e^{16}$ をまとめます。

$\frac{4}{1 - 5 e^{16}} - \frac{e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 - e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.13.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2^{2} - e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.13.2

$e^{16}$ を ${(e^{8})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2^{2} - {(e^{8})}^{2}}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 13.13.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = e^{8}$ です。

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{1 - 5 e^{16}}$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{1 - 5 e^{16}}$

10進法形式：

$0.19999991 \dots$

微分積分 例

微分積分例