微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

ステップ 1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

ステップ 2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$3 \frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

ステップ 3

極限べき乗則を利用して、指数 $\frac{3}{2}$ を $x^{\frac{3}{2}}$ から極限値外側に移動させます。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

ステップ 4

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 4}$

ステップ 5

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 4}$

ステップ 6

極限べき乗則を利用して、指数 $\frac{3}{2}$ を $x^{\frac{3}{2}}$ から極限値外側に移動させます。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 4}$

ステップ 7

$x$ が $8$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 4}$

ステップ 8

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 4}$

ステップ 8.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 4}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$4 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 9.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 4}$

ステップ 9.1.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} + 4}$

ステップ 9.1.3

${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} + 4}$

ステップ 9.1.3.2

$3 (\frac{3}{2})$ を掛けます。

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ステップ 9.1.3.2.1

$3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} + 4}$

ステップ 9.1.3.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 4}$

ステップ 9.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2 + \frac{9}{2}} + 4}$

ステップ 9.1.5

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}} + 4}$

ステップ 9.1.6

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}} + 4}$

ステップ 9.1.7

公分母の分子をまとめます。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 9}{2}} + 4}$

ステップ 9.1.8

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.8.1

$2$ に $2$ をかけます。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{4 + 9}{2}} + 4}$

ステップ 9.1.8.2

$4$ と $9$ をたし算します。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$

ステップ 9.2

$3$ と $\frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$

10進法形式：

$0.71825721 \dots$

微分積分 例

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