微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{3 \sqrt{x} + x^{- 7}}{7 x - 5}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x} + x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

ステップ 2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

ステップ 3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to 8} \sqrt{x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

ステップ 4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

ステップ 5

極限べき乗則を利用して、指数 $- 7$ を $x^{- 7}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

ステップ 6

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - lim_{x \to 8} 5}$

ステップ 7

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5}$

ステップ 8

$x$ が $8$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 9

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 9.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \sqrt{8} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 9.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \sqrt{8} + 8^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 9.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \sqrt{8} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.1.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 10.1.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{3 \sqrt{4 (2)} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.1.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 (2 \sqrt{2}) + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 \sqrt{2} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{6 \sqrt{2} + \frac{1}{8^{7}}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.1.5

$8$ を $7$ 乗します。

$\frac{6 \sqrt{2} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.1.6

$6 \sqrt{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2097152}{2097152}$ を掛けます。

$\frac{6 \sqrt{2} \cdot \frac{2097152}{2097152} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.1.7

$6 \sqrt{2}$ と $\frac{2097152}{2097152}$ をまとめます。

$\frac{\frac{6 \sqrt{2} \cdot 2097152}{2097152} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.1.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{6 \sqrt{2} \cdot 2097152 + 1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.1.9

$2097152$ に $6$ をかけます。

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.2

分母を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$7$ に $8$ をかけます。

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{56 - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.2.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{56 - 5}$

ステップ 10.2.3

$56$ から $5$ を引きます。

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{51}$

ステップ 10.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152} \cdot \frac{1}{51}$

ステップ 10.4

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152} \cdot \frac{1}{51}$ を掛けます。

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ステップ 10.4.1

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}$ に $\frac{1}{51}$ をかけます。

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152 \cdot 51}$

ステップ 10.4.2

$2097152$ に $51$ をかけます。

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{106954752}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{106954752}$

10進法形式：

$0.16637807 \dots$

微分積分 例

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