微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{3 e^{- x}}{\ln (1 + 7 e^{- x})}$

ステップ 1

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{x \to 8} \frac{e^{- x}}{\ln (1 + 7 e^{- x})}$

ステップ 2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$3 \frac{lim_{x \to 8} e^{- x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

ステップ 3

指数に極限を移動させます。

$3 \frac{e^{lim_{x \to 8} - x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

ステップ 4

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

ステップ 5

対数の内側に極限を移動させます。

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (lim_{x \to 8} 1 + 7 e^{- x})}$

ステップ 6

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 7 e^{- x})}$

ステップ 7

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + lim_{x \to 8} 7 e^{- x})}$

ステップ 8

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 lim_{x \to 8} e^{- x})}$

ステップ 9

指数に極限を移動させます。

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 e^{lim_{x \to 8} - x})}$

ステップ 10

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 e^{- lim_{x \to 8} x})}$

ステップ 11

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{e^{- 8}}{\ln (1 + 7 e^{- lim_{x \to 8} x})}$

ステップ 11.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \frac{e^{- 8}}{\ln (1 + 7 e^{- 8})}$

ステップ 12

答えを簡約します。

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ステップ 12.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- 8}$ を分母に移動させます。

$3 \frac{1}{\ln (1 + 7 e^{- 8}) e^{8}}$

ステップ 12.2

分母を簡約します。

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ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 \frac{1}{\ln (1 + 7 \frac{1}{e^{8}}) e^{8}}$

ステップ 12.2.1.2

$7$ と $\frac{1}{e^{8}}$ をまとめます。

$3 \frac{1}{\ln (1 + \frac{7}{e^{8}}) e^{8}}$

ステップ 12.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$3 \frac{1}{\ln (\frac{e^{8}}{e^{8}} + \frac{7}{e^{8}}) e^{8}}$

ステップ 12.2.3

公分母の分子をまとめます。

$3 \frac{1}{\ln (\frac{e^{8} + 7}{e^{8}}) e^{8}}$

ステップ 12.2.4

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{8}$ を分子に移動させます。

$3 \frac{1}{\ln ((e^{8} + 7) e^{- 8}) e^{8}}$

ステップ 12.2.5

$\ln ((e^{8} + 7) e^{- 8})$ を $\ln (e^{8} + 7) + \ln (e^{- 8})$ に書き換えます。

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) + \ln (e^{- 8})) e^{8}}$

ステップ 12.2.6

対数の法則を利用して指数の外に $- 8$ を移動します。

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8 \ln (e)) e^{8}}$

ステップ 12.2.7

$e$ の自然対数は $1$ です。

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8 \cdot 1) e^{8}}$

ステップ 12.2.8

$- 8$ に $1$ をかけます。

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$

ステップ 12.3

$3$ と $\frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$ をまとめます。

$\frac{3}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$

ステップ 12.4

$\frac{3}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3}{e^{8} (\ln (e^{8} + 7) - 8)}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3}{e^{8} (\ln (e^{8} + 7) - 8)}$

10進法形式：

$0.42907442 \dots$

微分積分 例

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