微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{\sin (x) + 2}}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{\sin (x) + 2}}$

ステップ 1.2

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 8} x^{\sin (x) + 2}}$

ステップ 2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{\sin (x) + 2}$ を $e^{\ln (x^{\sin (x) + 2})}$ に書き換えます。

$\frac{1}{lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{\sin (x) + 2})}}$

ステップ 2.2

$\sin (x) + 2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\sin (x) + 2})$ を展開します。

$\frac{1}{lim_{x \to 8} e^{(\sin (x) + 2) \ln (x)}}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{e^{lim_{x \to 8} (\sin (x) + 2) \ln (x)}}$

ステップ 3.2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{e^{lim_{x \to 8} \sin (x) + 2 \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

ステップ 3.3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{e^{(lim_{x \to 8} \sin (x) + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

ステップ 3.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

ステップ 3.5

$x$ が $8$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

ステップ 3.6

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + 2) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}}$

ステップ 4

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{e^{(\sin (8) + 2) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}}$

ステップ 4.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{e^{(\sin (8) + 2) \cdot \ln (8)}}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\sin (8)$ の値を求めます。

$\frac{1}{e^{(0.1391731 + 2) \cdot \ln (8)}}$

ステップ 5.1.2

$0.1391731$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{e^{2.1391731 \cdot \ln (8)}}$

ステップ 5.1.3

対数の中の $2.1391731$ を移動させて $2.1391731 \cdot \ln (8)$ を簡約します。

$\frac{1}{e^{\ln (8^{2.1391731})}}$

ステップ 5.1.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{1}{8^{2.1391731}}$

ステップ 5.1.5

$8$ を $2.1391731$ 乗します。

$\frac{1}{85.48025477}$

ステップ 5.2

$1$ を $85.48025477$ で割ります。

$0.0116986$

微分積分 例

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