微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{2 + 3 x - 5 x^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{2 + 3 x - 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

ステップ 2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 2 + 3 x - 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

ステップ 3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

ステップ 4

$x$ が $8$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{2 + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

ステップ 5

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

ステップ 6

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

ステップ 7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{1 + 8 x^{2}}}$

ステップ 8

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

ステップ 9

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

ステップ 10

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

ステップ 11

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

ステップ 12

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 lim_{x \to 8} x - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

ステップ 13

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 13.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 \cdot 8 - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

ステップ 13.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 \cdot 8 - 5 \cdot 8^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

ステップ 13.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{2 + 3 \cdot 8 - 5 \cdot 8^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

ステップ 14

答えを簡約します。

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ステップ 14.1

分子を簡約します。

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ステップ 14.1.1

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{\sqrt[3]{2 + 24 - 5 \cdot 8^{2}}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

ステップ 14.1.2

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt[3]{2 + 24 - 5 \cdot 64}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

ステップ 14.1.3

$- 5$ に $64$ をかけます。

$\frac{\sqrt[3]{2 + 24 - 320}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

ステップ 14.1.4

$2$ と $24$ をたし算します。

$\frac{\sqrt[3]{26 - 320}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

ステップ 14.1.5

$26$ から $320$ を引きます。

$\frac{\sqrt[3]{- 294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

ステップ 14.1.6

$- 294$ を ${(- 1)}^{3} \cdot 294$ に書き換えます。

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ステップ 14.1.6.1

$- 294$ を $- 1 (294)$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[3]{- 1 (294)}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

ステップ 14.1.6.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

ステップ 14.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{- 1 \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

ステップ 14.1.8

$- 1 \sqrt[3]{294}$ を $- \sqrt[3]{294}$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

ステップ 14.2

分母を簡約します。

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ステップ 14.2.1

指数を足して $8$ に $8^{2}$ を掛けます。

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ステップ 14.2.1.1

$8$ に $8^{2}$ をかけます。

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ステップ 14.2.1.1.1

$8$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}$

ステップ 14.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8^{1 + 2}}}$

ステップ 14.2.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 8^{3}}}$

ステップ 14.2.2

$8$ を $3$ 乗します。

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{1 + 512}}$

ステップ 14.2.3

$1$ と $512$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{513}}$

ステップ 14.2.4

$513$ を $3^{3} \cdot 19$ に書き換えます。

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ステップ 14.2.4.1

$27$ を $513$ で因数分解します。

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{27 (19)}}$

ステップ 14.2.4.2

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 19}}$

ステップ 14.2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{- \sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$

ステップ 14.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$

ステップ 14.4

$\frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}})$

ステップ 14.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 14.5.1

$\frac{\sqrt[3]{294}}{3 \sqrt[3]{19}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

ステップ 14.5.2

$\sqrt[3]{19}$ を移動させます。

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 (\sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

ステップ 14.5.3

$\sqrt[3]{19}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 ({\sqrt[3]{19}}^{1} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

ステップ 14.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{1 + 2}}$

ステップ 14.5.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{3}}$

ステップ 14.5.6

${\sqrt[3]{19}}^{3}$ を $19$ に書き換えます。

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ステップ 14.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{19}$ を $19^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {(19^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 14.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 14.5.6.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 14.5.6.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 14.5.6.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{1}}$

ステップ 14.5.6.5

指数を求めます。

$- \frac{\sqrt[3]{294} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19}$

ステップ 14.6

分子を簡約します。

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ステップ 14.6.1

${\sqrt[3]{19}}^{2}$ を $\sqrt[3]{19^{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt[3]{294} \sqrt[3]{19^{2}}}{3 \cdot 19}$

ステップ 14.6.2

$19$ を $2$ 乗します。

$- \frac{\sqrt[3]{294} \sqrt[3]{361}}{3 \cdot 19}$

ステップ 14.7

$3$ に $19$ をかけます。

$- \frac{\sqrt[3]{294} \sqrt[3]{361}}{57}$

ステップ 14.8

分子を簡約します。

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ステップ 14.8.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{\sqrt[3]{294 \cdot 361}}{57}$

ステップ 14.8.2

$294$ に $361$ をかけます。

$- \frac{\sqrt[3]{106134}}{57}$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\sqrt[3]{106134}}{57}$

10進法形式：

$- 0.83063454 \dots$

微分積分 例

微分積分例