微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x^{3} - 2 x - 1}}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} - 2 x - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

ステップ 2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} - 2 x - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

ステップ 3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

ステップ 4

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

ステップ 5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

ステップ 6

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x + 1}}$

ステップ 7

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + x + 1}}$

ステップ 8

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}}$

ステップ 9

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}}$

ステップ 10

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x + 1}}$

ステップ 11

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{8^{3} - 2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x + 1}}$

ステップ 11.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{8^{3} - 2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x + 1}}$

ステップ 11.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{8^{3} - 2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + lim_{x \to 8} x + 1}}$

ステップ 11.4

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{8^{3} - 2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + 8 + 1}}$

ステップ 12

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$8$ を $3$ 乗します。

$\frac{\sqrt[3]{512 - 2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + 8 + 1}}$

ステップ 12.1.2

$- 2$ に $8$ をかけます。

$\frac{\sqrt[3]{512 - 16 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + 8 + 1}}$

ステップ 12.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt[3]{512 - 16 - 1}}{\sqrt{8^{2} + 8 + 1}}$

ステップ 12.1.4

$512$ から $16$ を引きます。

$\frac{\sqrt[3]{496 - 1}}{\sqrt{8^{2} + 8 + 1}}$

ステップ 12.1.5

$496$ から $1$ を引きます。

$\frac{\sqrt[3]{495}}{\sqrt{8^{2} + 8 + 1}}$

ステップ 12.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt[3]{495}}{\sqrt{64 + 8 + 1}}$

ステップ 12.2.2

$64$ と $8$ をたし算します。

$\frac{\sqrt[3]{495}}{\sqrt{72 + 1}}$

ステップ 12.2.3

$72$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt[3]{495}}{\sqrt{73}}$

ステップ 12.3

$\frac{\sqrt[3]{495}}{\sqrt{73}}$ に $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt[3]{495}}{\sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$

ステップ 12.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

$\frac{\sqrt[3]{495}}{\sqrt{73}}$ に $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{\sqrt{73} \sqrt{73}}$

ステップ 12.4.2

$\sqrt{73}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{{\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73}}$

ステップ 12.4.3

$\sqrt{73}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{{\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1}}$

ステップ 12.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{{\sqrt{73}}^{1 + 1}}$

ステップ 12.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{{\sqrt{73}}^{2}}$

ステップ 12.4.6

${\sqrt{73}}^{2}$ を $73$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{73}$ を $73^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{{(73^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 12.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{73^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 12.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{73^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 12.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{73^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 12.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{73^{1}}$

ステップ 12.4.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt[3]{495} \sqrt{73}}{73}$

ステップ 12.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

最小共通指数 $6$ を利用して式を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{495}$ を $495^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{495^{\frac{1}{3}} \sqrt{73}}{73}$

ステップ 12.5.1.2

$495^{\frac{1}{3}}$ を $495^{\frac{2}{6}}$ に書き換えます。

$\frac{495^{\frac{2}{6}} \sqrt{73}}{73}$

ステップ 12.5.1.3

$495^{\frac{2}{6}}$ を $\sqrt[6]{495^{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[6]{495^{2}} \sqrt{73}}{73}$

ステップ 12.5.1.4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{73}$ を $73^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[6]{495^{2}} \cdot 73^{\frac{1}{2}}}{73}$

ステップ 12.5.1.5

$73^{\frac{1}{2}}$ を $73^{\frac{3}{6}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[6]{495^{2}} \cdot 73^{\frac{3}{6}}}{73}$

ステップ 12.5.1.6

$73^{\frac{3}{6}}$ を $\sqrt[6]{73^{3}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[6]{495^{2}} \sqrt[6]{73^{3}}}{73}$

ステップ 12.5.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt[6]{495^{2} \cdot 73^{3}}}{73}$

ステップ 12.5.3

$495$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt[6]{245025 \cdot 73^{3}}}{73}$

ステップ 12.5.4

$73$ を $3$ 乗します。

$\frac{\sqrt[6]{245025 \cdot 389017}}{73}$

ステップ 12.6

$245025$ に $389017$ をかけます。

$\frac{\sqrt[6]{95318890425}}{73}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt[6]{95318890425}}{73}$

10進法形式：

$0.92584930 \dots$

微分積分 例

微分積分例