微分積分例

$lim_{x \to 8} {(\frac{18 x}{18 x + 4})}^{5 x}$

ステップ 1

$18$ と $18 x + 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$2$ を $18 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{18 x + 4})}^{5 x}$

ステップ 1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ を $18 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x) + 4})}^{5 x}$

ステップ 1.2.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x) + 2 (2)})}^{5 x}$

ステップ 1.2.3

$2$ を $2 (9 x) + 2 (2)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x + 2)})}^{5 x}$

ステップ 1.2.4

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 (9 x)}{2 (9 x + 2)})}^{5 x}$

ステップ 1.2.5

式を書き換えます。

$lim_{x \to 8} {(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x}$

ステップ 2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 2.1

${(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x}$ を $e^{\ln ({(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x})}$

ステップ 2.2

$5 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{9 x}{9 x + 2})}^{5 x})$ を展開します。

$lim_{x \to 8} e^{5 x \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 8} 5 x \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

ステップ 3.2

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{5 lim_{x \to 8} x \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

ステップ 3.3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{9 x}{9 x + 2})}$

ステップ 3.4

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{9 x}{9 x + 2})}$

ステップ 3.5

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 lim_{x \to 8} \frac{x}{9 x + 2})}$

ステップ 3.6

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} 9 x + 2})}$

ステップ 3.7

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 2})}$

ステップ 3.8

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2})}$

ステップ 3.9

$x$ が $8$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{9 lim_{x \to 8} x + 2})}$

ステップ 4

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (9 \frac{lim_{x \to 8} x}{9 lim_{x \to 8} x + 2})}$

ステップ 4.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 lim_{x \to 8} x + 2})}$

ステップ 4.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$5$ に $8$ をかけます。

$e^{40 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}$

ステップ 5.2

対数の中の $40$ を移動させて $40 \cdot \ln (9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})$ を簡約します。

$e^{\ln ({(9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}^{40})}$

ステップ 5.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(9 \frac{8}{9 \cdot 8 + 2})}^{40}$

ステップ 5.4

$8$ と $9 \cdot 8 + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

${(9 \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 8 + 2})}^{40}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1

$2$ を $9 \cdot 8$ で因数分解します。

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4) + 2})}^{40}$

ステップ 5.4.2.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4) + 2 (1)})}^{40}$

ステップ 5.4.2.3

$2$ を $2 (9 \cdot 4) + 2 (1)$ で因数分解します。

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4 + 1)})}^{40}$

ステップ 5.4.2.4

共通因数を約分します。

${(9 \frac{2 \cdot 4}{2 (9 \cdot 4 + 1)})}^{40}$

ステップ 5.4.2.5

式を書き換えます。

${(9 \frac{4}{9 \cdot 4 + 1})}^{40}$

ステップ 5.5

分母を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$9$ に $4$ をかけます。

${(9 \frac{4}{36 + 1})}^{40}$

ステップ 5.5.2

$36$ と $1$ をたし算します。

${(9 (\frac{4}{37}))}^{40}$

ステップ 5.6

$9 (\frac{4}{37})$ を掛けます。

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ステップ 5.6.1

$9$ と $\frac{4}{37}$ をまとめます。

${(\frac{9 \cdot 4}{37})}^{40}$

ステップ 5.6.2

$9$ に $4$ をかけます。

${(\frac{36}{37})}^{40}$

ステップ 5.7

積の法則を $\frac{36}{37}$ に当てはめます。

$\frac{36^{40}}{37^{40}}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{36^{40}}{37^{40}}$

10進法形式：

$0.33421894 \dots$

微分積分 例

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