微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 1.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 4

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} \sec (x)$

ステップ 5

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\sec (lim_{x \to 0} x)$

ステップ 6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sec (0)$

ステップ 7

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

微分積分 例

微分積分例