微分積分例

$lim_{x \to 8} 729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づくと定数である $729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$ の極限値を求めます。

$729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

ステップ 2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$n$ を $2 n^{3} + 3 n^{2} + n$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

$n$ を $2 n^{3}$ で因数分解します。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

ステップ 2.1.1.1.2

$n$ を $3 n^{2}$ で因数分解します。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n}{6 n^{3}}$

ステップ 2.1.1.1.3

$n$ を $1$ 乗します。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n^{1}}{6 n^{3}}$

ステップ 2.1.1.1.4

$n$ を $n^{1}$ で因数分解します。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

ステップ 2.1.1.1.5

$n$ を $n (2 n^{2}) + n (3 n)$ で因数分解します。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

ステップ 2.1.1.1.6

$n$ を $n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1$ で因数分解します。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n + 1)}{6 n^{3}}$

ステップ 2.1.1.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1.1

$3$ を $3 n$ で因数分解します。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 (n) + 1)}{6 n^{3}}$

ステップ 2.1.1.2.1.2

$3$ を $1$ プラス $2$ に書き換える

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + (1 + 2) n + 1)}{6 n^{3}}$

ステップ 2.1.1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 1 n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

ステップ 2.1.1.2.1.4

$n$ に $1$ をかけます。

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

ステップ 2.1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$729 - 729 \frac{n ((2 n^{2} + n) + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

ステップ 2.1.1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$729 - 729 \frac{n (n (2 n + 1) + 1 (2 n + 1))}{6 n^{3}}$

ステップ 2.1.1.2.3

最大公約数 $2 n + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$729 - 729 \frac{n ((2 n + 1) (n + 1))}{6 n^{3}}$

$729 - 729 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

ステップ 2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$3$ を $- 729$ で因数分解します。

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

ステップ 2.1.2.2

$3$ を $6 n^{3}$ で因数分解します。

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

ステップ 2.1.2.3

共通因数を約分します。

$729 + 3 \cdot - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

ステップ 2.1.2.4

式を書き換えます。

$729 - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$

ステップ 2.1.3

$- 243$ と $\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$ をまとめます。

$729 + \frac{- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{3}}$

ステップ 2.1.4

$n$ と $n^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

$n$ を $- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))$ で因数分解します。

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{2 n^{3}}$

ステップ 2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.2.1

$n$ を $2 n^{3}$ で因数分解します。

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

ステップ 2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

ステップ 2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$729 + \frac{- 243 ((2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

ステップ 2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$729 - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.2

$729$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ を掛けます。

$729 \cdot \frac{2 n^{2}}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.3

$729$ と $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ をまとめます。

$\frac{729 (2 n^{2})}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{729 (2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$243$ を $729 \cdot 2 n^{2} - 243 (2 n + 1) (n + 1)$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.1.1

$243$ を $729 \cdot 2 n^{2}$ で因数分解します。

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.1.2

$243$ を $- 243 (2 n + 1) (n + 1)$ で因数分解します。

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.1.3

$243$ を $243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))$ で因数分解します。

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{243 (6 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{243 (6 n^{2} + (- (2 n) - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.6

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 n - 1) (n + 1)$ を展開します。

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ステップ 2.5.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n (n + 1) - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.5.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.1.1

指数を足して $n$ に $n$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.7.1.1.1

$n$ を移動させます。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 (n \cdot n) - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.7.1.1.2

$n$ に $n$ をかけます。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.7.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.7.1.3

$- 1 n$ を $- n$ に書き換えます。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.7.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.7.2

$- 2 n$ から $n$ を引きます。

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.8

$6 n^{2}$ から $2 n^{2}$ を引きます。

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.9

群による因数分解。

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ステップ 2.5.9.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ で和が $b = - 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.9.1.1

$- 3$ を $- 3 n$ で因数分解します。

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 (n) - 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.9.1.2

$- 3$ を $1$ プラス $- 4$ に書き換える

$\frac{243 (4 n^{2} + (1 - 4) n - 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.9.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{243 (4 n^{2} + 1 n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.9.1.4

$n$ に $1$ をかけます。

$\frac{243 (4 n^{2} + n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.9.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.9.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{243 ((4 n^{2} + n) - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.9.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{243 (n (4 n + 1) - (4 n + 1))}{2 n^{2}}$

ステップ 2.5.9.3

最大公約数 $4 n + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{243 ((4 n + 1) (n - 1))}{2 n^{2}}$

$\frac{243 (4 n + 1) (n - 1)}{2 n^{2}}$

微分積分 例

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