微分積分例

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - \ln ({(x)}^{x})$

ステップ 1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

ステップ 1.2

対数の内側に極限を移動させます。

$\ln (lim_{x \to 8} {(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

ステップ 2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 2.1

${(x + 1)}^{x}$ を $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ に書き換えます。

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

ステップ 2.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x + 1)}^{x})$ を展開します。

$\ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

指数に極限を移動させます。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

ステップ 3.2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

ステップ 3.3

対数の内側に極限を移動させます。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

ステップ 3.4

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

ステップ 3.5

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

ステップ 3.6

対数の内側に極限を移動させます。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} {(x)}^{x})$

ステップ 4

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 4.1

${(x)}^{x}$ を $e^{\ln ({(x)}^{x})}$ に書き換えます。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x)}^{x})})$

ステップ 4.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x)}^{x})$ を展開します。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x)})$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

指数に極限を移動させます。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x)})$

ステップ 5.2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

ステップ 5.3

対数の内側に極限を移動させます。

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

ステップ 6

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

ステップ 6.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

ステップ 6.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

ステップ 6.4

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (8)})$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}}{e^{8 \cdot \ln (8)}})$

ステップ 7.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{8 \cdot \ln (8)}$ を分子に移動させます。

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} e^{- 8 \cdot \ln (8)})$

ステップ 7.3

指数を足して $e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}$ に $e^{- 8 \cdot \ln (8)}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)})$

ステップ 7.3.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$\ln (e^{8 \cdot \ln (9) - 8 \cdot \ln (8)})$

ステップ 7.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.3.1

対数の中の $8$ を移動させて $8 \ln (9)$ を簡約します。

$\ln (e^{\ln (9^{8}) - 8 \cdot \ln (8)})$

ステップ 7.3.3.2

$9$ を $8$ 乗します。

$\ln (e^{\ln (43046721) - 8 \cdot \ln (8)})$

ステップ 7.3.3.3

対数の中の $8$ を移動させて $- 8 \ln (8)$ を簡約します。

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (8^{8})})$

ステップ 7.3.3.4

$8$ を $8$ 乗します。

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (16777216)})$

ステップ 7.3.4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (e^{\ln (\frac{43046721}{16777216})})$

ステップ 7.4

対数の法則を利用して指数の外に $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ を移動します。

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \ln (e)$

ステップ 7.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \cdot 1$

ステップ 7.6

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$ に $1$ をかけます。

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

10進法形式：

$0.94226428 \dots$

微分積分 例

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