微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{x - x \sqrt{x}}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} x - x \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

ステップ 2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

ステップ 3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

ステップ 4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

ステップ 5

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

ステップ 6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

ステップ 7

極限べき乗則を利用して、指数 $\frac{3}{2}$ を $x^{\frac{3}{2}}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

ステップ 8

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5}$

ステップ 9

$x$ が $8$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 10

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 10.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 - lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{8}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.4

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

ステップ 10.5

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 11.1.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 11.1.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$\frac{8 - 8 \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 11.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{8 - 8 \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 11.1.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 11.2

分母を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 11.2.1.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 11.2.1.2

${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 11.2.1.2.2

$3 (\frac{3}{2})$ を掛けます。

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ステップ 11.2.1.2.2.1

$3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 11.2.1.2.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 11.2.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{1 + \frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 11.2.1.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 11.2.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{2 + 9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 11.2.1.6

$2$ と $9$ をたし算します。

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

ステップ 11.2.2

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 24 - 1 \cdot 5}$

ステップ 11.2.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 24 - 5}$

ステップ 11.2.4

$24$ から $5$ を引きます。

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{8 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

10進法形式：

$- 0.22764695 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$