微分積分例

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\tan (3 x)}$

ステップ 1

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\tan (3 x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

ステップ 1.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

ステップ 1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ で割ります。

$lim_{x \to 90} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$lim_{x \to 90} \tan (x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

ステップ 1.4.2

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ を $\cot (3 x)$ に変換します。

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cot (3 x)$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $90$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot lim_{x \to 90} \cot (3 x)$

ステップ 2.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (lim_{x \to 90} 3 x)$

ステップ 2.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 lim_{x \to 90} x)$

ステップ 3

$x$ を $90$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 \cdot 90)$

ステップ 4

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

ステップ 5

表を作り、 $x$ が左から $90$ に近づくときの関数 $\tan (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

ステップ 6

$x$ 値が $90$ に近づくので、関数の値は $- 1.995$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $90$ に近づくときの $\tan (x)$ の極限は $- 1.995$ です。

$- 1.995$

ステップ 7

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

ステップ 8

表を作り、 $x$ が右から $90$ に近づくときの関数 $\tan (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

ステップ 9

$x$ 値が $90$ に近づくので、関数の値は $- 1.995$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $90$ に近づくときの $\tan (x)$ の極限は $- 1.995$ です。

$- 1.995 \cdot \cot (3 \cdot 90)$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

$3$ に $90$ をかけます。

$- 1.995 \cdot \cot (270)$

ステップ 10.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- 1.995 \cdot \cot (90)$

ステップ 10.3

$\cot (90)$ の厳密値は $0$ です。

$- 1.995 \cdot 0$

ステップ 10.4

$- 1.995$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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