微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

ステップ 1.1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

ステップ 1.1.3

$x$ がラジカルの $\infty$ に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

ステップ 1.3.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 1.3.4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}$

ステップ 1.3.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

ステップ 1.3.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 1.3.7

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 1.3.8

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}$

ステップ 1.3.8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}$

ステップ 1.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 1.3.10

簡約します。

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ステップ 1.3.10.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.3.10.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (2 x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (2 \sqrt{x})$

ステップ 1.6

因数をまとめます。

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ステップ 1.6.1

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \sqrt{x}$

ステップ 1.6.2

$\frac{2}{x}$ と $\sqrt{x}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 3.1.2

$x$ がラジカルの $\infty$ に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

ステップ 3.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$2 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$2 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.6

公分母の分子をまとめます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.9

簡約します。

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ステップ 3.3.9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.9.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 3.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

ステップ 3.6

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ に $1$ をかけます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ は $0$ に近づきます。

$2 (\frac{1}{2}) \cdot 0$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{1}{2}) \cdot 0$

ステップ 6.1.2

式を書き換えます。

$1 \cdot 0$

ステップ 6.2

$0$ に $1$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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