微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

ステップ 1

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{2} = \sqrt{x^{4}}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

ステップ 2.2

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}}$

ステップ 2.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}}$

ステップ 2.4

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}}$

ステップ 2.5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{4}}}}$

ステップ 2.6

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}}$

ステップ 2.7

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}}$

ステップ 3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{4}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

ステップ 4.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{1}$

ステップ 4.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

微分積分 例

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