微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{3} + 2 x - 5}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{3} + 2 x - 5}$

ステップ 1.1.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3} + 2 x - 5}$

ステップ 1.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{3} + 2 x - 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 5]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 5]}$

ステップ 1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 5]}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x^{3} + 2 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 1.3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 1.3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 1.3.5.3

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

ステップ 1.3.6

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 x^{2} + 2 + 0}$

ステップ 1.3.7

$3 x^{2} + 2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 x^{2} + 2}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} + 2}$

ステップ 2.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 x^{2} + 2} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2]}$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2]}$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $3 x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]}$

ステップ 2.3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]}$

ステップ 2.3.4.3

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6 x + \frac{d}{d x} [2]}$

ステップ 2.3.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6 x + 0}$

ステップ 2.3.6

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6 x}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

ステップ 3.1.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

ステップ 3.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

ステップ 3.3.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6 \cdot 1}$

ステップ 3.3.5

$6$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6}$

ステップ 4

関数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $\frac{1}{6}$ 倍 $\infty$ に近づきます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

定数の倍数 $\frac{1}{6}$ を削除した極限を考えます。

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

ステップ 4.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\infty$

微分積分 例

微分積分例