微分積分例

$lim_{x \to 8} \cos (\frac{π}{x})$

ステップ 1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cos (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

ステップ 1.2

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\cos (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

ステップ 1.3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\cos (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

ステップ 1.4

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\cos (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

ステップ 2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\cos (π \frac{1}{8})$

ステップ 3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$π$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\cos (\frac{π}{8})$

ステップ 3.2

$\cos (\frac{π}{8})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{π}{8}$ を書き直します。

$\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

ステップ 3.2.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

ステップ 3.2.3

余弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

ステップ 3.2.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 3.2.5

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 3.2.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 3.2.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 3.2.5.4

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.4.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.2.5.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

ステップ 3.2.5.5

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 3.2.5.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 3.2.5.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

10進法形式：

$0.92387953 \dots$

微分積分 例

微分積分例