微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = \sqrt{x^{2}}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 3.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 3.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 3.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 4.1.2.4

$x$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 4.1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 4.1.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 4.1.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 4.1.2.8

項を加えて簡約します。

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ステップ 4.1.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 4.1.2.8.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.8.2.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 4.1.2.8.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 4.1.2.8.3

$- 1 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 4.1.2.8.4

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 4.1.2.9

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

ステップ 4.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

ステップ 4.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

ステップ 4.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.2

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.7

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.8

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.12

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.13

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.14

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.15

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

ステップ 4.3.16

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

ステップ 4.4

約分します。

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ステップ 4.4.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

ステップ 4.4.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

ステップ 4.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

ステップ 4.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1}}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

ステップ 5.2

答えを簡約します。

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ステップ 5.2.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{1}$

ステップ 5.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

微分積分 例

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