微分積分例

$lim_{x \to - 8} \frac{80}{e^{x} - 1}$

ステップ 1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$80$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$80 lim_{x \to - 8} \frac{1}{e^{x} - 1}$

ステップ 1.2

$x$ が $- 8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$80 \frac{lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 1}$

ステップ 1.3

$x$ が $- 8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$80 \frac{1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 1}$

ステップ 1.4

$x$ が $- 8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$80 \frac{1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 1}$

ステップ 1.5

指数に極限を移動させます。

$80 \frac{1}{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 1}$

ステップ 1.6

$x$ が $- 8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$80 \frac{1}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 1 \cdot 1}$

ステップ 2

$x$ を $- 8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$80 \frac{1}{e^{- 8} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$e^{- 8}$ を ${(e^{- 4})}^{2}$ に書き換えます。

$80 \frac{1}{{(e^{- 4})}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 3.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$80 \frac{1}{{(e^{- 4})}^{2} - 1^{2}}$

ステップ 3.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{- 4}$ であり、 $b = 1$ です。

$80 \frac{1}{(e^{- 4} + 1) (e^{- 4} - 1)}$

ステップ 3.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) (e^{- 4} - 1)}$

ステップ 3.1.4.2

$e^{- 4}$ を ${(e^{- 2})}^{2}$ に書き換えます。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ({(e^{- 2})}^{2} - 1)}$

ステップ 3.1.4.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ({(e^{- 2})}^{2} - 1^{2})}$

ステップ 3.1.4.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{- 2}$ であり、 $b = 1$ です。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((e^{- 2} + 1) (e^{- 2} - 1))}$

ステップ 3.1.4.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) (e^{- 2} - 1))}$

ステップ 3.1.4.5.2

$e^{- 2}$ を ${(e^{- 1})}^{2}$ に書き換えます。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ({(e^{- 1})}^{2} - 1))}$

ステップ 3.1.4.5.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ({(e^{- 1})}^{2} - 1^{2}))}$

ステップ 3.1.4.5.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{- 1}$ であり、 $b = 1$ です。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((e^{- 1} + 1) (e^{- 1} - 1)))}$

ステップ 3.1.4.5.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.5.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((\frac{1}{e} + 1) (e^{- 1} - 1)))}$

ステップ 3.1.4.5.5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)))}$

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1))}$

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

ステップ 3.1.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + \frac{e^{4}}{e^{4}}) (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

ステップ 3.1.6

公分母の分子をまとめます。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

ステップ 3.1.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} (\frac{1}{e^{2}} + \frac{e^{2}}{e^{2}}) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

ステップ 3.1.8

公分母の分子をまとめます。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

ステップ 3.1.9

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} (\frac{1}{e} + \frac{e}{e}) (\frac{1}{e} - 1)}$

ステップ 3.1.10

公分母の分子をまとめます。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} - 1)}$

ステップ 3.1.11

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e}{e}$ を掛けます。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} - 1 \cdot \frac{e}{e})}$

ステップ 3.1.12

$- 1$ と $\frac{e}{e}$ をまとめます。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} + \frac{- e}{e})}$

ステップ 3.1.13

公分母の分子をまとめます。

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

ステップ 3.1.14

指数をまとめます。

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ステップ 3.1.14.1

$\frac{1 + e^{4}}{e^{4}}$ に $\frac{1 + e^{2}}{e^{2}}$ をかけます。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{4} e^{2}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

ステップ 3.1.14.2

指数を足して $e^{4}$ に $e^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.14.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{4 + 2}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

ステップ 3.1.14.2.2

$4$ と $2$ をたし算します。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{6}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

ステップ 3.1.14.3

$\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{6}}$ に $\frac{1 + e}{e}$ をかけます。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6} e} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

ステップ 3.1.14.4

指数を足して $e^{6}$ に $e$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.14.4.1

$e^{6}$ に $e$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.14.4.1.1

$e$ を $1$ 乗します。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6} e^{1}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

ステップ 3.1.14.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6 + 1}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

ステップ 3.1.14.4.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{7}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

ステップ 3.1.14.5

$\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{7}}$ に $\frac{1 - e}{e}$ をかけます。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7} e}}$

ステップ 3.1.14.6

指数を足して $e^{7}$ に $e$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.14.6.1

$e^{7}$ に $e$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.14.6.1.1

$e$ を $1$ 乗します。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7} e^{1}}}$

ステップ 3.1.14.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7 + 1}}}$

ステップ 3.1.14.6.2

$7$ と $1$ をたし算します。

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{8}}}$

ステップ 3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$80 (1 \frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)})$

ステップ 3.3

$\frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$ に $1$ をかけます。

$80 \frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

ステップ 3.4

$80$ と $\frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$ をまとめます。

$\frac{80 e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{80 e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

10進法形式：

$- 80.02684601 \dots$

微分積分 例

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