微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (2 x)}{e^{x} - 3 x - 1}$

ステップ 1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

ステップ 2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 8} 2 x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

ステップ 3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

ステップ 4

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1}$

ステップ 5

指数に極限を移動させます。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1}$

ステップ 6

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}$

ステップ 7

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 8

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 8.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{8} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 8.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{\sin (16)}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

ステップ 9.1.2

$\sin (16)$ の値を求めます。

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$- 3$ に $8$ をかけます。

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 24 - 1 \cdot 1}$

ステップ 9.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 24 - 1}$

ステップ 9.2.3

$- 24$ から $1$ を引きます。

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 25}$

ステップ 9.2.4

因数分解した形で $e^{8} - 25$ を書き換えます。

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ステップ 9.2.4.1

$e^{8}$ を ${(e^{4})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0.27563735}{{(e^{4})}^{2} - 25}$

ステップ 9.2.4.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0.27563735}{{(e^{4})}^{2} - 5^{2}}$

ステップ 9.2.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{4}$ であり、 $b = 5$ です。

$\frac{0.27563735}{(e^{4} + 5) (e^{4} - 5)}$

ステップ 9.3

$e$ を概算で置き換えます。

$\frac{0.27563735}{({2.71828182}^{4} + 5) (e^{4} - 5)}$

ステップ 9.4

$2.71828182$ を $4$ 乗します。

$\frac{0.27563735}{(54.59815003 + 5) (e^{4} - 5)}$

ステップ 9.5

$54.59815003$ と $5$ をたし算します。

$\frac{0.27563735}{59.59815003 (e^{4} - 5)}$

ステップ 9.6

$e$ を概算で置き換えます。

$\frac{0.27563735}{59.59815003 ({2.71828182}^{4} - 5)}$

ステップ 9.7

$2.71828182$ を $4$ 乗します。

$\frac{0.27563735}{59.59815003 (54.59815003 - 5)}$

ステップ 9.8

$54.59815003$ から $5$ を引きます。

$\frac{0.27563735}{59.59815003 \cdot 49.59815003}$

ステップ 9.9

$59.59815003$ に $49.59815003$ をかけます。

$\frac{0.27563735}{2955.95798704}$

ステップ 9.10

$0.27563735$ を $2955.95798704$ で割ります。

$0.00009324$

微分積分 例

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