微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x - \frac{π}{2}}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

ステップ 1.2

$x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

ステップ 1.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

ステップ 2

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \ln (\sin (x)) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

ステップ 2.2

$\ln (\sin (x))$ と $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

ステップ 3

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

ステップ 4

値を変数に代入して極限を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $\frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (\sin (0)) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

ステップ 4.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

ステップ 4.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ に $2$ をかけます。

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 - π}$

ステップ 4.3.2

$0$ から $π$ を引きます。

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

ステップ 4.3.3

0の自然対数は未定義です。

未定義

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

ステップ 4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- 1 (1) π}$

ステップ 4.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$

ステップ 4.6

$- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$ が未定義なので、極限はありません。

$存在しない$

ステップ 5

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

ステップ 6

右側極限を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x)) \cdot 2}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

ステップ 6.2

関数 $\ln (\sin (x))$ が $- \infty$ に近づくので、関数は正の定数 $2$ 倍 $- \infty$ に近づきます。

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ステップ 6.2.1

定数の倍数 $2$ を削除した極限を考えます。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

ステップ 6.2.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (\sin (x))$ は境界がなく減少します。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

ステップ 6.3

極限を求めます。

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ステップ 6.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - lim_{x \to 0^{+}} π}$

ステップ 6.3.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - lim_{x \to 0^{+}} π}$

ステップ 6.3.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $π$ の極限値を求めます。

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - π}$

ステップ 6.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- \infty}{2 \cdot 0 - π}$

ステップ 6.5

答えを簡約します。

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ステップ 6.5.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.5.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{- \infty}{0 - π}$

ステップ 6.5.1.2

$0$ から $π$ を引きます。

$\frac{- \infty}{- π}$

ステップ 6.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{- \infty}{π}$

ステップ 6.5.3

無限大割る有限または0ではない数は無限大です。

$- - \infty$

ステップ 6.5.4

0でない定数に無限大倍すると無限大です。

$\infty$

ステップ 7

グラフの山または谷の点のいずれもない場合、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

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