微分積分例

$lim_{x \to 0} (\frac{\tan (2 x)}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$\frac{\sin (x)}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x^{3}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{\sin (x)}{x}$ に $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x \cdot x^{2}}$

ステップ 1.2.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.2.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1} x^{2}}$

ステップ 1.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1 + 2}}$

ステップ 1.2.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

ステップ 1.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

ステップ 2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

ステップ 3

$x$ が $0$ に近づくとき、分子が定数で分母が $0$ に近づくので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は無限大に近づきます。

$\infty + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

ステップ 4

$\frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}}$ と $lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}} = \infty$ なので、はさみうちの原理を当てはめます。

$\infty + \infty$

ステップ 5

無限大プラス無限大は無限大です。

$\infty$

微分積分 例

微分積分例