微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec (x) - 9}{x^{2}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 9 \sec (x) - 9}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 9 \sec (x) - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{9 lim_{x \to 0} \sec (x) - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.3

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{9 \sec (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{9 \sec (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{9 \sec (0) - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{9 \cdot 1 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$9$ に $1$ をかけます。

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$9$ から $9$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec (x) - 9}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 \sec (x) - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 \sec (x) - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $9 \sec (x) - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [9 \sec (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 \sec (x)$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{9 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.4

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec (x) \tan (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5

$9 \sec (x) \tan (x)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec (x) \tan (x)}{2 x}$

ステップ 2

$\frac{9}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{x}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{9}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{9}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.2

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.3

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sec (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sec (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.5

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.2.5.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{9}{2} \cdot \frac{1 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.5.2

$\tan (0)$ に $1$ をかけます。

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.5.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{9}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{9}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{9}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.4

指数を足して $\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.3.4.1

$\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \frac{{\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.4.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.6

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.7

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.10

項を並べ替えます。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{1}$

ステップ 3.4

$\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{9}{2} lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{9}{2} (lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{9}{2} (lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

ステップ 4.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\tan^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{9}{2} ({(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

ステップ 4.4

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{9}{2} (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

ステップ 4.5

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{9}{2} (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

ステップ 4.6

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $\sec^{3} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{9}{2} (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{3})$

ステップ 4.7

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{9}{2} (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{9}{2} (\tan^{2} (0) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{9}{2} (\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{9}{2} (\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0))$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{9}{2} (0^{2} \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0))$

ステップ 6.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{9}{2} (0 \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0))$

ステップ 6.1.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{9}{2} (0 \cdot 1 + \sec^{3} (0))$

ステップ 6.1.4

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{9}{2} (0 + \sec^{3} (0))$

ステップ 6.1.5

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{9}{2} (0 + 1^{3})$

ステップ 6.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{9}{2} (0 + 1)$

ステップ 6.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{9}{2} \cdot 1$

ステップ 6.3

$\frac{9}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{9}{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{9}{2}$

10進法形式：

$4.5$

微分積分 例

微分積分例