微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

ステップ 1

$x$ が $0$ に近づくと定数である $\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$ の極限値を求めます。

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

ステップ 2

答えを簡約します。

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ステップ 2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1^{3}}{h}$

ステップ 2.1.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1 + h$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(1 + h - 1) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

ステップ 2.1.3

簡約します。

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ステップ 2.1.3.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{(h + 0) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

ステップ 2.1.3.2

$h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{h ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

ステップ 2.1.3.3

${(1 + h)}^{2}$ を $(1 + h) (1 + h)$ に書き換えます。

$\frac{h ((1 + h) (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

ステップ 2.1.3.4

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + h) (1 + h)$ を展開します。

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ステップ 2.1.3.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{h (1 (1 + h) + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

ステップ 2.1.3.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

ステップ 2.1.3.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

ステップ 2.1.3.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.1.3.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.3.5.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{h (1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

ステップ 2.1.3.5.1.2

$h$ に $1$ をかけます。

$\frac{h (1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

ステップ 2.1.3.5.1.3

$h$ に $1$ をかけます。

$\frac{h (1 + h + h + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

ステップ 2.1.3.5.1.4

$h$ に $h$ をかけます。

$\frac{h (1 + h + h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

ステップ 2.1.3.5.2

$h$ と $h$ をたし算します。

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

ステップ 2.1.3.6

$1 + h$ に $1$ をかけます。

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1^{2})}{h}$

ステップ 2.1.3.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1)}{h}$

ステップ 2.1.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{h (2 h + h^{2} + 2 + h + 1)}{h}$

ステップ 2.1.3.9

$2 h$ と $h$ をたし算します。

$\frac{h (3 h + h^{2} + 2 + 1)}{h}$

ステップ 2.1.3.10

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{h (3 h + h^{2} + 3)}{h}$

ステップ 2.1.3.11

項を並べ替えます。

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

ステップ 2.2

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

ステップ 2.2.2

$h^{2} + 3 h + 3$ を $1$ で割ります。

$h^{2} + 3 h + 3$

微分積分 例

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